Алгебра. Ткач Л.И. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Для нашего случая ориентированный граф бинарного отношения ϕ на множестве A можно изобразить так:
Заметим, что ребро (a; a) начинается и заканчивается в вершине a (т.е. получается «петля»), ребра (c; d) и (d; c) (как и
ребра (d; b), (b; d)) обозначены одной (с целью упрощения структуры графа) «двусторонней» стрелкой.
Ориентированный граф является универсальным способом представления бинарного отношения на конечном множест-
ве, так как каждое бинарное отношение на конечном множестве можно представить ориентированным графом и, наоборот,
каждый ориентированный граф определяет некоторое бинарное отношение на множестве его вершин. Причем этот способ
позволяет быстро выявить свойства рассматриваемого бинарного отношения. Если бинарное отношение рефлексивное, то в
ориентированном графе в каждой вершине имеется петля. Если бинарное отношение антирефлексивное, то ни одна из вер-
шин не имеет петли. Если бинарное отношение симметричное, то все ребра графа являются двусторонними стрелками. Если
бинарное отношение антисимметричное, то ребра графа имеют только по одной стрелке и возможно есть петли. Если бинар-
ное отношение транзитивное, то для каждой пары ребер (a; b) и (b; c) есть замыкающее ребро (a; c). Например, в предыду-
щем примере отношение ϕ не является рефлексивным, не является антирефлексивным, не является симметричным, не явля-
ется антисимметричным, не является транзитивным.
Рассмотрим такой вопрос: антисимметрично ли бинарное отношение ϕ на множестве
{}
baA ;= , заданное ориентиро-
ванным графом:
т.е.
(){}
2
; Aba ⊂=ϕ Ответ на этот вопрос затрудняется тем, что нет таких элементов a ∈ A, b ∈ B, что (a; b) ∈ ϕ и (b; a) ∈ ϕ.
В дальнейшем мы такие ситуации рассматривать не будем, и будем считать, что в подобной ситуации вопрос, поставленный
вначале, не корректен.
41
Понятие отношения (в частности, бинарного отношения) является инструментом, с помощью которого можно изложить
основные понятия математики на основе теории множеств. Покажем, например, как можно ввести понятие отображения,
основываясь на понятии бинарного отношения.
Основная идея этого шага состоит в том, что для отображения можно ввести понятие графика отображения (по анало-
гии с «школьным понятием» графика функции), как множество упорядоченных пар и отождествить само отображение и
график отображения (так как всю информацию об отображении можно получить из графика отображения).
Определение 5.1.4. Бинарное отношение f на множествах A и B называется функциональным, если: (x; y
1
) ∈ f и (x; y
2
) ∈
f ⇒ y
1
=y
2
(или для каждого x ∈ A существует не более одного y ∈ B, при котором (x; y) ∈ f).
Те элементы x ∈ A, для которых существует такой y ∈ B, что (x; y) ∈ f называются областью определения функциональ-
ного отношения f и обозначаются Dom f (Dom f ⊂ A). Для любого x ∈ Dom f определяется значение f на аргументе x ∈ Dom f
как тот единственный элемент y ∈ B, для которого (x; y) ∈ f. Этот элемент записывается как f
(x). Все такие элементы y обра-
зуют множество значений f и обозначаются Im
f (Im f ⊂ Y).
Функциональное отношение f на множествах A и B называется также отображением на множествах A и B. Если область
определения f совпадает с множеством A (Dom f = A), то принято писать
BAf →: и функциональное отношение f называ-
ется отображением, определенном на множестве A со значениями в множестве B. После этого можно излагать все, что нам
известно из главы «Отображения».
41
Мы не будем обсуждать причин для такого решения, так как это приведет к вопросам, лежащим далеко за нашим изложением. Скажем
только, что импликация (или: материальная импликация)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
baabbaAbAa =⇒ϕ∈∧ϕ∈∈∀∈∀ ;;,, в рамках математической логики
(или: классической логики) в случае ложного основания,
конечно, является истинной. Но материальная имликация является формальным анало-
гом условного высказывания (вспомните определение импликации !)
− «… схватывая многие важные черты логического поведения условного
высказывания, материальная импликация не является достаточно адекватным его описанием.» (Горский, А.А. Краткий словарь по логике / А.А.
Горский и др. – М. : Просвещение, 1991. – С. 61). Даже более того, «ряд законов классической логики, содержащих материальную импликацию и
не согласующихся с обычными, или интуитивными, представлениями о логических связях, получили название парадоксов материальной импли-
кации. В числе этих парадоксов закон Дунса Скота …» (там же, с. 61). Таким образом, классическая логика с материальной импликацией не мо-
жет быть признана удачным описанием условной связи, а значит и логического следования.
Более удовлетворительное описание условной связи и логического следования было дано в 50-е гг. прошлого столетия В. Аккерманом,
А.Андерсоном, Н. Белнапом в релевантной логике. Введенная ими непарадоксальная имликация получила название релевантой (т.е. уместной),
поскольку ею могли связываться только высказывания, имеющие какое-то общее содержание. Отметим, что в релевантой логике нельзя выводить
из ложного высказывания какое угодно высказывание.
Таким образом, в каком случае нужно считать имликацию A
⇒ B истинной в рамках логики − вопрос далеко не очевидный.
Повторим еще раз, что обсуждение подобных вопросов выходит далеко за рамки нашего изложения и, чтобы не вдаваться в них, мы
принимаем соответствующее решение.
a
b
с
d
a
b

Страницы