Алгебра. Ткач Л.И. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

5. ОТНОШЕНИЯ
5.1. ДЕКАРТОВО ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОЖЕСТВ.
БИНАРНОЕ ОТНОШЕНИЕ
В математике часто приходится изучать связи (или отношения) между элементами множества. Например, при изучении
натуральных чисел N вводится понятие «больше», так например, 3 > 2. Это отношение связывает два элемента множества N.
На множестве треугольников вводится отношение, определяемое понятием «подобие», причем это отношение также приме-
няется к паре треугольников.
Таким образом, можно сказать, что часто задание некоторого отношения между элементами некоторых множеств рав-
носильно описанию некоторого множества пар элементов этих множеств. Попытаемся выразить эту ситуацию на языке тео-
рии множеств.
Пусть A и B − два непустых множества.
Определение 5.1.1. Декартовым (или прямым) произведением множеств A и B называется множество A × B всех упо-
рядоченных пар (x; y), где x ∈ A, y ∈ B.
Декартово произведение множеств – это еще одна операция над множествами.
Пример. Пусть
[]
[
]
2;0,1;0
=
= BA . Изобразим множества A × B и B × A – эти множества будут состоять из точек соот-
ветствующих прямоугольников:
Таким образом, A × B ≠ B × A. Следовательно, операция декартового произведения множеств не является коммутатив-
ной.
Аналогично можно определить декартово произведение любого числа множеств: A
1
× A
2
× … × A
n
. Если A = B − непус-
тое множество, то часто вместо A × B пишут A
2
. Например, если A = B = R − множество точек на числовой оси, то
()
{}
RyRxyxRA ∈∈== ,;
22
можно представить как множество точек на плоскости, а
()
{}
RzRyRxzyxRA ∈∈∈== ,,;;
33
− как множество точек пространства.
Определение 5.1.2. Бинарным отношением ϕ на множествах A и B называется подмножество декартова произведения
A × B. Если упорядоченная пара (x; y) ∈ A × B является элементом бинарного отношения ϕ
B
A
×⊂
, то говорят, что для эле-
ментов x ∈ A и y ∈ B выполнено отношение ϕ и обозначают это следующим образом: xϕ
y или (x; y) ∈ ϕ. Если A = B, то гово-
рят о бинарном отношении ϕ на множестве A (ϕ ⊂ A
2
).
Пример. Пусть A − множество людей, B − множество стран. Рассмотрим бинарное отношение ϕ на множествах A и B −
«быть жителем данной страны». Тогда (a; b) ∈ ϕ в том и только том случае, если человек a ∈ A живет в стране b ∈ B.
Понятие бинарного отношения обобщается на случай n-арного отношения (n ∈ N), как подмножество ϕ декартова про-
изведения n множеств: ϕ ⊂ A
1
× A
2
× … × A
n
. Частным случаем n-арного отношения является унарное отношение (т.е. 1-арное
отношение): ϕ ⊂ A. В данном случае это ничто иное, как подмножество A, следовательно, при необходимости всякое под-
множество можно рассматривать как пример некоторого унарного отношения. Отметим некоторые частные случаи отноше-
ний.
Определение 5.1.3. Бинарное отношение ϕ ⊂ A
2
называется:
– рефлексивным, если
()
ϕ∈∈∀ xxAx ;: (для любого элемента x ∈ A выполнено
(
)
ϕ
∈
xx; );
– антирефлексивным, если
()
ϕ∉∈∀ xxAx ;: ;
– симметричным, если
()
(
)
ϕ
∈
⇒ϕ∈
∈
∀ xyyxAyx ;;:, ;
– антисимметричным, если
()
(
)
yxxyyxAyx
=
⇒
ϕ
∈
ϕ
∈∈∀ ;и;:, ;
– транзитивным, если
()
(
)
(
)
ϕ
∈
⇒
ϕ
∈
ϕ∈
∈
∀ zxzyyxAzyx ;;и;:,, .
Рассмотрим один из наглядных способов представления бинарного отношения на конечном множестве A. Пусть A
− не-
пустое конечное множество и ϕ – бинарное отношение на множестве A. Представим элементы множества A точками и назо-
вем их вершинами ориентированного графа. Каждой паре (a; b) ∈ϕ при a ≠ b поставим в соответствие стрелку от a к b и на-
зовем ее ориентированным ребром графа (или просто ребром графа). Паре (a; a) ∈ϕ соответствует ребро в виде «петли».
Изобразив все вершины и все ребра, мы получим ориентированный граф для бинарного отношения ϕ на множестве A.
Пример. Пусть
{}
dcbaA ;;;= и бинарное отношение ϕ на множестве A определяется следующим образом
ϕ =
()
(
)
(
)
(
)
(
)
(
){}
bddbcddcbaaa ;;;;;;;;;;; .
2
0 x
A
× B
y
y
x
B
×
A
1
0
1
2

Страницы