Алгебра. Ткач Л.И. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

2. Если отображения YXf →: , ZYg →: − биективные, то биективное и отображение fg o , причем
()
11
1
−−
−
= gffg oo .
Ввиду очевидности утверждений, докажем только
()
=
−1
fg o
11 −−
= gf o . Используя ассоциативность суперпозиции,
получим
()
(
)
(
)()
(
)
(
)
Z
egggffggffggffg ====
−−−−−−− 1111111
oooooooooo .
Аналогично можно получить, что
(
)
(
)
X
efggf =
−−
ooo
11
.
Заметим, что символ
()
Bf
1−
прообраза множества
YB ⊂
ассоциируется с символом
1−
f
обратной функции, однако
следует иметь в виду, что прообраз множества определен для любого отображения YXf →: , даже если оно не является
биективным, и, следовательно, не имеет обратного.
Ответ на последний поставленный вопрос мы дадим в виде задачи.
Задача. Доказать, что:
1) отображение f инъективно в том и только в том случае, если оно обладает левым обратным отображением;
2) отображение f сюръективно в том и только в том случае, если оно обладает правым обратным отображением.
К ГЛАВЕ 4
4.1. Привести пример отображения, которое:
а) является инъективным, но не является сюръективным;
б) не является инъективным, но является сюръективным;
в) не является инъективным и не является сюръективным;
г) является биективным.
4.2. Для данного отображения YXf →: , RYRX
=
=
, найти образ
(
)
Af множества A и прообраз
(
)
Bf
1−
множества
B:
а)
()
[] []
1;0,1;0, === BAxxf ;
б)
()
[] []
1;0,1;0,
2
=== BAxxf ;
в)
()
−=
==
2
1
;
2
3
,
4
3π
;
4
π
,sin BAxxf .
4.3. Пусть YXf →: − некоторое отображение, YBXA ⊂⊂ , . Доказать следующие соотношения:
а)
()()
AAff ⊃
−1
;
б)
()
(
)
BBff ⊂
−1
;
в)
()()()
AfXfAXf \\ ⊃ ;
г)
() () ()
BfYfBYf
111
\\
−−−
=
.
4.4. Доказать, что, вообще говоря, справедливы соотношения:
а)
()()
AAff ⊄
−1
(тем самым
()()
AAff ≠
−1
);
б)
()
(
)
Bff
1−
B (тем самым
()
(
)
BBff ≠
−1
);
в)
()()()
AfXfAXf \\ ⊄ (тем самым
()
(
)
(
)
AfXfAXf \\
≠
).
4.5. Верны ли соотношения (если какое-то из этих равенств неверно, то привести соответствующий пример)?
а)
()() ()
BfABAff
11 −−
= II
.
б)
()
()
()
BAfBfAf II =
−1
.
4.6. Пусть 2,1,,,, =∅≠⊂∅≠⊂ iBYBAXA
iiii
. Доказать следующие соотношения:
а)
()()()
2
1
1
1
21
1
BfBfBBf
−−−
= UU ;
б)
()()()
2
1
1
1
21
1
BfBfBBf
−−−
= II ;
в)
()()()
2
1
1
1
21
1
\\ BfBfBBf
−−−
= ;
г)
()()()
2121
AfAfAAf UU = ;
д)
()()()
2121
AfAfAAf II ⊂ ;
е)
()()()
2121
\\ AfAfAAf ⊃ .
4.7. Доказать, что, вообще говоря, справедливы соотношения:
а)
()
21
AAf I
() ()
21
AfAf I , тем самым
()
(
)
(
)
2121
AfAfAAf II
≠
;
б)
()()()
2121
\\ AfAfAAf ⊄ , тем самым
()
(
)
(
)
2121
\\ AfAfAAf
≠
.
4.8. Докажите, что отображение YXf →: сюръективно тогда и только тогда, когда для любого множества YB ⊂ справед-
ливо равенство
()
(
)
BBff =
−1
.
⊃
⊃

Страницы