Алгебра. Ткач Л.И. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

() ()
212121
,, xfxfxxXxXx
≠
⇒≠∈∀∈∀ ,
т.е. если разные элементы множества X отображаются в разные элементы множества Y.
То же самое определение можно переформулировать в следующем виде.
Определение 4.1.7. Отображение YXf →: называется инъективным, если для любых элементов x
1
, x
2
множества X
верно:
(
)
(
)
2121
xxxfxf
=
⇒
=
.
Определение 4.1.8. Отображение YXf →: называется биективным (или взаимно однозначным, или биекцией),
если оно сюръективно и инъективно.
Примеры.
1. Пусть X = {1, 2, 3}, Y
1
= {a, b}, Y
2
= {a, b, c, d}. Зададим отображения
(
)
2,1:
=
→ iYXf
ii
стрелочными диаграммами:
т.е. f
1
(1) = a, f
1
(2) = b, f
1
(3) = a, и f
2
(1) = b, f
2
(2) = a, f
2
(3) = c, , для элемента d ∈ Y
2
нет прообраза при отображении
22
: YXf → .
Очевидно, что отображение
11
: YXf → сюръективное, но не инъективное (
(
)
(
)
31
11
ff
=
), отображение
22
: YXf → инъ-
ективное, но не сюръективное.
Рекомендуем читателю построить аналогичным образом биективное отображение и отображение, не являющееся инъек-
тивным и сюръективным.
2. Рассмотрим отображение
2
xx
f
→ на разных числовых множествах. Если X = R, Y = R, YXf →: , то отображение
2
xx
f
→ не является сюръективным и не является инъективным.
Если
{
}
0≥∈= xRxX
, Y = R, YXf →: , то отображение
2
xx
f
→ является инъективным и не является сюръектив-
ным.
Если X = R,
{
}
0≥∈= yRyY , YXf →: , то отображение
2
xx
f
→ является сюръективным и не является инъектив-
ным.
Если
{
}
0≥∈= xRxX ,
{
}
0≥∈= yRyY , YXf →: , то отображение
2
xx
f
→ является и инъективным, и сюръек-
тивным, т.е. биективным.
4.2. СУПЕРПОЗИЦИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ
Над отображениями можно производить операции. Рассмотрим известное еще со школы, но с более общей точки зре-
ния, понятие суперпозиции.
Определение 4.2.1. Суперпозицией (композицией, произведением) двух отображений VXgYVf →→ :,: называется
отображение
YXgf →:o , определенное равенством
(
)
(
)
(
)
(
)
xgfxgf
=
o .
Заметим, что если
,: YXf → то справедливы соотношения ffefef
YX
=
=
oo , , т.е. тождественное отображение в
суперпозиции играет такую же роль, как единица при умножении чисел.
Аналогию между суперпозицией отображений и умножением чисел можно увидеть и в следующем утверждении.
Теорема 4.2.1. Ассоциативность суперпозиции отображений.
Если ,: ZXf → ,: YZg → ,: VYh → то
(
)
(
)
fghfgh oooo
=
.
Доказательство. Доказательство почти очевидно, для любого x ∈ X:
()()()()
(
)()
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)( )
xfghxfghxfghxfghxfgh oooooo
=
=
=
= .
Теорема доказана.
Суперпозиция отображений не обладает свойством коммутативности, т.е., вообще говоря, fggf oo ≠ . Например,
пусть отображения RRgRRf →→ :,: определены равенствами
() ()
xxgxxf 2,1
=
+= . Тогда
( )() ( )() ( )
2212,12 +=+=+= xxxfgxxgf oo . Поэтому fggf oo
≠
.
4.3. ОБРАТНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
Продолжить аналогию между умножением чисел и суперпозицией можно дальше.
Определение 4.3.1. Пусть даны два отображения ,: YXf → ,: XYg → такие, что
Y
egf =o , тогда f − левое обрат-
ное отображение к отображению g, а g − правое обратное отображение к отображению f. Если же
Y
egf =o и
X
efg
=
o , то
тогда отображение g называется обратным к отображению f (а f − обратным к g) и обозначается символом f
–1
.
f
1
a
1
2
3
b
•
•
•
•
•
1
2
3
a
b
c
d
•
•
•
•
•
•
•
f
2

Страницы