Алгебра. Ткач Л.И. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

4. ОТОБРАЖЕНИЯ
4.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Пусть X и Y
−
произвольные непустые множества.
Определение 4.1.1. Отображением, определенном на множестве X со значениями в множестве Y, называется правило,
согласно которому каждому элементу x
∈
X ставится в соответствие единственный элемент y
∈
X.
Если это правило обозначить через f, то можно записать так y = f (x),
(
)
xfx a , YXfyx
f
→→ :, .
Множество X называется областью определения отображения f, множество
()
{
}
YXxxfy ⊂∈=
− областью зна-
чений отображения f.
В том случае, когда множества X и Y – нечисловые, отображение YXf →: иногда называется оператором. Если
множество X – нечисловое, а множество Y – числовое, то отображение
YXf →: иногда называется функционалом,
если же множества X и Y – числовые, то отображение
YXf →: называется функцией.
Отображение YXf →: можно задавать описательно, указывая правило, по которому каждому элементу области опре-
деления X ставится в соответствие единственный элемент области значений, а также с помощью таблиц, стрелочных схем,
аналитически.
Заметим, что отображение
YXf →: полностью определено, если
1)
задана область определения X;
2)
для каждого x ∈ X задан (посредством некоторого правила) единственный элемент y ∈ Y, на который элемент x ото-
бражается.
Определение 4.1.2. Два отображения
111
: YXf → ,
222
: YXf → называются равными, если:
−
равны (как множества) их области определения:
21
XX
=
;
−
каждому элементу области определения они сопоставляют один и тот же элемент области значений:
(
)
(
)
xfxf
21
=
для любого x ∈ X
1
(или X
2
).
Очевидно, что в случае равенства отображений
111
: YXf → и
222
: YXf → будут равны и их области значений.
Примеры.
1. Пусть X − множество людей, сопоставим каждому человеку его возраст. Таким образом, мы определили отображение
(или функционал)
YXf →: , где Y − множество положительных действительных чисел.
2. Пусть X − множество студентов, находящихся на занятии. Сопоставим каждому студенту стул, на котором он сидит.
Таким образом, мы получили отображение (или оператор)
YXf →: , где Y − множество стульев в рассматриваемой аудито-
рии.
3. В школьном курсе математики, как правило, рассматриваются отображения, являющиеся функциями. Например,
xy = . Здесь очевидно, что
[
)
∞+= ;0X , а правило состоит в том, что каждому
[
)
∞
+
∈
;0X сопоставляется арифметиче-
ский квадратный корень из
xxx →: .
4. Пусть X − произвольное множество, рассмотрим отображение
XXe
X
→: , определенное равенством
(
)
xxe
X
=
для
любого x ∈ X. Такое отображение естественно назвать тождественным (или единичным).
Определение 4.1.3.
Образом множества XX ⊂
0
(X
0
≠ ∅) при отображении YXf →: называется множество
()
(
)
{
}
xfyXxYyXf =∈∃∈= ,
00
.
Если X
0
≠ ∅, то примем по определению, что f (∅) = ∅.
Область значений отображения
YXf →: , естественно, является образом области определения X, поэтому она
иногда называется образом при отображении
YXf →: . Для области значений (или образа) отображения
YXf →: используется обозначение Im f или f (X). Таким образом,
(
)
(
)
{
}
XxxfyYyXff ∈=∈== ,Im .
Определение 4.1.4. Прообразом элемента y ∈ Y при отображении YXf →: называется множество
() ()
{}
yxfXxyf =∈=
−1
. Прообразом множества YY ⊂
0
(Y
0
≠ ∅) называется множество
()
(
)
{
}
(
)
U
0
1
00
1
Yy
yfYxfXxYf
∈
−−
=∈∈= .
Если Y
0
≠ ∅, то примем по определению, что f
–1
(∅) = ∅.
Таким образом, прообразов у элемента y ∈ Y может быть несколько, а образ элемента x ∈ X всегда единственный.
Определение 4.1.5.
Отображение YXf →: называется сюръективным (или отображением на все Y, или наложе-
нием), если Im
f = Y, т.е. если для каждого элемента y ∈ Y найдется такой элемент x ∈ X, что y = f (x).
Определение 4.1.6. Отображение YXf →: называется инъективным (или вложением), если
40
Наиболее полно «последовательность расширений» понятия числа выглядит так: OHCRQZN ⊂⊂⊂⊂⊂⊂ , где H − ква-
тернионы, O
− октонионы, их называют также октавами или числами Кэли. За всеми разъяснениями отсылаем читателя к книге Кириллов
А.А. Что такое число. М. : ИФ «ФМЛ» ВО «Наука», 1993.

Страницы