ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Множество натуральных чисел N
−
это пересечение всех индуктивных совокупностей индуктивного множества, со-
держащих пустое множество ∅, на котором определены операции сложения, умножения и отношение порядка, удовлетво-
ряющие указанным свойствам. Причем элементы множества N обозначаются символами 1, 2, 3, … .
Заметим, что множество натуральных чисел вместе со всеми нужными свойствами можно определить на основании и
других систем аксиом
29
.
3.2. ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАСШИРЕНИЕ ПОНЯТИЯ ЧИСЛА
Используя множество натуральных чисел, можно определить множество целых чисел. Например, это можно сделать
так. Множество целых чисел Z есть объединение множеств
+
N ,
−
N и {0}, где
+
N − состоит из пар вида (+, n), n ∈ N,
−
N −
состоит из пар вида (–, n)
30
, n ∈ N, а операции над этими парами и нулем совершаются нужным образом (например, (+, 4) +
(–, 2) = (+, 2) и т.д.) с сохранением всех основных свойств. Данное определение множества целых чисел является конструк-
тивным (в отличие от аксиоматического)
31
.
Следующий шаг в расширении понятия числа – множество рациональных чисел Q. Определим это множество
32
. Рас-
смотрим множество упорядоченных пар (a, b), где a, b − целые числа, b ≠ 0. Упорядоченную пару (a, b) будем обозначать как
b
a
. Назовем две пары
2
2
1
1
и
b
a
b
a
эквивалентными (или равными), если
1221
baba
=
. Множество всех упорядоченных пар распа-
дается на непересекающиеся подмножества, состоящие из равных пар. Эти подмножества называются рациональными чис-
лами (например, рациональное число
−
−
−
−
= ...,
4
2
,
4
2
,
2
1
,
2
1
q ), для удобства и краткости речи рациональными числами на-
зывают и элементы этих подмножеств. Причем подмножества равных пар, содержащие пары вида
1
n
, естественно отождест-
влять с целым числом n. Определим операции сложения и умножения рациональных чисел. Суммой рациональных чисел
21
и qq называется рациональное число
21
qq + , содержащее пару
21
1221
bb
baba
+
, где
2
2
2
1
1
1
, q
b
a
q
b
a
∈∈
. Произведением рацио-
нальных чисел
21
и qq называется рациональное число
21
qq , содержащее пару
21
21
bb
aa
, где
2
2
2
1
1
1
, q
b
a
q
b
a
∈∈ . На основании опе-
раций суммы и произведения определяются известным образом операции вычитания и деления рациональных чисел. На
множестве рациональных чисел можно также ввести отношение порядка, а именно,
21
qq < , если 0
1221
<
−
baba , где
2
2
2
1
1
1
, q
b
a
q
b
a
∈∈
. Так введенные определения позволяют доказать все известные свойства рациональных чисел
33
.
Следующие шаги в расширении понятия «число» – множество действительных чисел R, множество комплексных чисел
C. Как правило, обоснование всех сторон этого расширения происходит в рамках математического анализа (и даже функ-
ционального анализа), что находится довольно далеко от нашего изложения.
Отметим то, что множество действительных чисел R можно определить и как бесконечные десятичные дроби
34
, и как
дедекиндовы сечения в множестве рациональных чисел
35
, и как совокупность классов эквивалентности в множестве фунда-
ментальных последовательностей рациональных чисел
36
. Можно определить множество действительных чисел R и аксиома-
тически
37
(т.е. множество действительных чисел R – линейно упорядоченное поле, в котором выполняется аксиома Дедекин-
да
38
). Множество комплексных чисел C, как расширение множества действительных чисел R, можно определить, используя
известный нам прием, как множество упорядоченных пар (a, b) (или a + ib), где a ∈ R, b ∈ R. Причем, на этом множестве
упорядоченных пар определяются особым образом операции сложения, вычитания, умножения, деления. Отождествление
пары вида (a, 0) с действительным числом a, а пары вида (0, b) – с «чисто мнимым» числом ib позволяет говорить о возмож-
ности равенства
39
1
2
−=i . На этом построения, связанные с понятием числа, не заканчиваются
40
. Дальнейшее расширение
понятия числа слишком выходят за рамки нашего рассмотрения и поэтому мы их опускаем.
29
См. Нечаев В.И. Числовые системы. М. : Просвещение, 1977 или Вилен-кин Н.Я., Дуничев К.И. и др. Современные основы
школьного курса математики. М. : Просвещение. 1980. С. 140.
30
Другими словами,
+
N (соответственно
−
N ) есть декартово произведение множеств {+} (соответственно {–}) и N или
{}
NN ×+=
+
,
{}
NN ×−=
−
.
31
Конечно, возможно и аксиоматическое определение множества целых чисел. Например такое − множество целых чисел есть наи-
меньшее кольцо, содержащее полукольцо натуральных чисел (Виленкин Н.Я., Дуничев К.И. и др. Современные основы школьного курса
математики. М. : Просвещение, 1980. С. 37.).
32
К этому определению желательно вернуться после рассмотрения понятий отношение эквивалентности, фактормножество.
33
См., например, Жолков С.Ю. Математика и информатика для гуманитариев. М. : Гардарики, 2002. С. 28 – 30 или Б.Л. ван дер Вар-
ден. Алгебра. М. : Наука, 1976. С. 58 – 62.
34
См., например, Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ. М. : Издательство МГУ, 1985. Глава 2.
35
См., например, Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, М. : Наука, 1964. Т. 1.
36
Этот способ связан с понятием пополнения метрического пространства, которое изучается в курсе функционального анализа.
37
См., например, Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ. М. : Издательство МГУ, 1985. С. 58 или Иль-
ин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч. 1. М. : Наука, 1982. С. 607.
38
См. Успенский В.А. Что такое аксиоматический метод ? Ижевск : Издательский дом «Удмуртский университет», 2000. С. 86. Dedekind
J.W.R (1831 – 1916) – немецкий математик.
39
Этот способ определения комплексных чисел был предложен в 1833 г. ирландским математиком У.Р. Гамильтоном (Hamilton
W.R., 1805 – 1865) (см. Балк М.Б., Балк Г.Д., Полухин А.А. Реальные применения мнимых чисел. Киев : Радянська школа, 1988. С. 15.).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- …
- следующая ›
- последняя »
