Алгебра. Ткач Л.И. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

3. ЧИСЛА
3.1. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА. АКСИОМЫ ПЕАНО
Бог создал натуральное число,
все остальное – дело рук человеческих.
Л. Кронекер
25
Аксиоматический метод построения математической дисциплины требует от изучающего очень высокого уровня логи-
ческой культуры.
В частности, по этой причине в школе иногда приходится отказываться от строгих определений некоторых понятий, заменяя
их поясняющими описаниями. Так в арифметике говорят, что число есть результат счета или измерения. Но что такое «счет
или измерение»? Возможно попытаться ответить, что это «некий процесс». Но что такое «процесс»? Наверно, не каждый
ответит однозначно. Обходя все эти вопросы, просто считается, что понятие числа, как результат счета или измерения, для
школьника вполне очевидно и согласуется с его жизненным опытом и более школьнику на данном этапе его интеллектуаль-
ного развития не надо. Но, повторимся, не все так просто: результатом какого измерения является –1 или π (вспомните, как
определяется это число)? И в то же время любой закончивший школу вряд ли станет говорить о том, что отрицательные (или
иррациональные) числа совсем не нужны.
Математики давно поняли, что если говорить о чем-то, то говорить надо вразумительно, и если создавать в накопив-
шихся знаниях систему, то эта система должна быть логически безупречной. Поэтому математики и изобрели специальный
способ построения логических теорий − аксиоматический метод (см. соответствующий параграф).
Для обоснования понятия «число», как мы уже поняли, применяется аксиоматический метод. Естественно надо начинать с
самых простых чисел − натуральных. В конце XIX в. итальянский математик Джузеппе Пеано (G. Peano, 1858 – 1932) выде-
лил первоначальные свойства натуральных чисел, из которых ему удалось вывести все существенные свойства натуральных
чисел. Назвав эти первоначальные свойства аксиомами натуральных чисел, он тем самым определил натуральные числа ак-
сиоматическим методом.
В аксиоматике Пеано первоначальные понятия: натуральное число, единица, следующее число. Аксиомы Пеано
26
:
1.
Единица есть натуральное число.
2.
Каждое натуральное число имеет следующее число.
3.
Единица не является следующим числом.
4.
Натуральные числа, имеющие одинаковые следующие числа, равны.
5.
Множество, содержащее единицу и вместе с каждым числом его следующее, содержит все натуральные числа.
Можно доказать
27
, что:
1.
Система аксиом Пеано является непротиворечивой.
2.
Аксиомы Пеано определяют натуральные числа однозначно (или, как говорят математики − с точностью до изомор-
физма), − это свойство системы аксиом называется категоричностью.
3.
Если система аксиом ZFC непротиворечива, то и система аксиом Пеано не противоречива.
Покажем, как в рамках теории ZFC можно построить теоретико-множественную модель для аксиом Пеано. Назовем
множество следующим для множества A, если оно является объединением этого множества A с множеством, единственным
элементом которого является множество A. Обозначим множество следующее для множества A через S
(A):
(
)
{
}
AAAS ∪
=
.
Например, следующим множеством для пустого множества ∅ является множество ∅
∪ {∅} = {∅} (т.е. множество, единст-
венный элемент которого есть пустое множество ∅). Следующим для множества {∅} является множество {∅
∪ {∅}} = {∅,
{∅}} (т.е. множество, элементами которого являются два множества: пустое множество ∅ и множество {∅}, состоящее из
одного элемента − тоже пустого множества).
Совокупность множеств M называется индуктивной, если вместе с каждым множеством A она содержит и множество
S(A). Теперь аксиому бесконечности Цермело-Френкеля можно сформулировать так: существует хотя бы одна индуктивная
совокупность множеств, содержащая пустое множество ∅.
Возьмем одну из индуктивных совокупностей множеств, содержащих пустое множество ∅, и обозначим ее M. Через W
обозначим семейство всех индуктивных совокупностей подмножеств в M, а через N − пересечение всех совокупностей из W.
Тогда N и будет искомой моделью, в которой начальным элементом 1 (т.е. единицей) является пустое множество ∅, сле-
дующим числом для 1, которое мы обозначим 2, является следующее множество для ∅ и т.д.
Можно доказать, что в N выполнены аксиомы Пеано (если положить 1 = ∅ и считать S(A) «следующим числом» для A).
В указанной модели N (которую, согласно категоричности аксиом Пеано, можно назвать множеством натуральных чисел) в
теории ZFC можно определить операции сложения и умножения (а также вычитания и деления, когда они возможны) и ус-
тановить справедливость всех обычных свойств натуральных чисел, перечислим основные группы этих свойств
28
:
1.
Свойства натуральных чисел для операций сложения, вычитания (в том случае, когда она выполнима), умножения,
деления (в том случае, когда она выполнима).
2.
Свойства упорядочения натуральных чисел.
3.
Свойства, касающиеся операций и упорядочения натуральных чисел.
Подведем итог. Множеству натуральных чисел N в рамках теории ZFC можно дать такое определение.
25
Leopold Kronecker (1823 – 1891) – немецкий математик.
26
В математической литературе встречается система аксиом, называемая аксиомами Пеано, имеющая несущественные отличия от
предлагаемой (см. Куратовский К., Мостовой А. Теория множеств. М. : Мир, 1970).
27
Что касается доказательств в этом параграфе, то см. например: Виленкин Н.Я., Дуничев К.И. и др. Современные основы школьного
курса математики. М. : Просвещение, 1980. С. 128 – 141.
28
Сами свойства мы предполагаем известными (см., например, Феликс Л. Элементарная математика в современном изложении, М. :
Наука. 1979. С. 26.). Заметим, что, так как на множестве натуральных чисел введены операции сложения и умножения (являющиеся ос-
новными), то множество натуральных чисел N было бы точнее обозначать (N; + ;
⋅).

Страницы