Алгебра. Ткач Л.И. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Конечно же, читатель увидит в f
–1
«обратное число», так как если для числа a существует обратное число a
–1
, то a ⋅ a
–
1
= a
–1
⋅ a = 1.
Очевидно, если для отображения f существует обратное отображение f
–1
, то:
1)
()
(
)
yfxyxf
1−
=⇔=
; 2)
(
)
ff =
−
−
1
1
.
Существуют ли, вообще, обратные отображения? Рассмотрим пример.
Пример. Рассмотрим две школьные функции
()
(
)
xxgxxf arcsin иsin
=
=
.
Из школьного курса известны соотношения
() ()
−∈⇔==
2
π
;
2
π
sinarcsinиarcsinsin xxxxx .
Если мы определим отображения f и g так, чтобы
[] []
−→−−→
−
2
π
;
2
π
11;:,1;1
2
π
;
2
π
: gf , то очевидно f
–1
= g и g
–1
= f.
При введении нового определения возникает также и такой вопрос: однозначно ли определяется новое понятие? Может
ли для данного отображения f существовать несколько обратных отображений? Ответ на этот вопрос дает теорема.
Теорема 4.3.1. Если обратное отображение существует, то оно единственное.
Доказательство. Предположим, что существует несколько обратных отображений для отображения f. Выделим любые
два:
1
2
1
1
и
−−
ff . Тогда
(
)( )
1
2
1
2
1
1
1
2
1
1
1
1
−−−−−−
=== ffffffff oooo . Следовательно, обратное отображение может быть только
одно. Теорема доказана.
Заметим, в отличие от единственного обратного отображения может существовать много односторонних обратных ото-
бражений.
Пример. Пусть
(){}
RxxxxYX
in
∈
== ...;,...;;
21
– множество бесконечных числовых последовательностей, рассмот-
рим отображения XXf
a
→: (a – некоторое число), XXg →: , определенные следующим образом:
()( )
...;,...;;;...;,...;;
2121 n
f
n
xxxaxxx
a
→ ,
()()
...;,...;...;,...;;
221 n
g
n
xxxxx → .
Очевидно, что
Xa
efg =o . Таким образом, для отображения g существует бесконечное число правых обратных ото-
бражений.
Пример. Пусть
{
}
0>∈= xRxX ,
(
)
{
}
0,0,,; >>
∈
∈
= yxRyRxyxY . Рассмотрим отображения
,3,2,1,:,: =→→ iXYgYXf
i
определенные равенствами:
()
(
)
2
; xxxf = ;
()
xyx
g
→
1
; ;
()
y
x
yx
g
→
2
;;
()
xyx
g
→
3
; .
Очевидно, что 3,2,1, == iefg
Xi
o . Таким образом, для отображения f существует не менее трех обратных левых ото-
бражений.
Поставим также следующие вопросы: для каких отображений f существует обратное отображение? Для каких отобра-
жений f существует левое обратное отображение и не существует правого обратного и наоборот?
Для ответа на первый вопрос докажем сначала лемму.
Лемма 4.3.1. Если XYgYXf →→ :,: − любые отображения, для которых
Y
egf
=
o , то f будет сюръективно, а ото-
бражение g будет инъективным.
Доказательство. Докажем, что g − инъективное отображение. Пусть
() ( )
ygygYyYyyy
′
=
∈
′
∈
′
и,, . Тогда
(
)( )()
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
yyeygfygfygfygfyey
Yy
′
=
′
=
′
=
′
==== oo
.
Противоречие. Следовательно,
() ( )
ygyg
′
≠
, т.е. g − инъективное отображение.
Докажем, что f − сюръективное отображение. Пусть y − любой элемент из Y. Тогда
() ( )()
(
)
(
)
ygfygfyey
Y
=
=
=
o , а это
и означает сюръективность f. Лемма доказана.
Теорема 4.3.2. Отображение f имеет обратное
1−
f
тогда и только тогда, когда отображение f биективно.
Доказательство. 1. Пусть для отображения YXf →: существует обратное XYf →
−
:
1
. Так как
X
eff =
−
o
1
, то f −
инъективно. Далее,
Y
eff =
−1
o
и, следовательно, f − сюръективно. Необходимость биективности f для существования
1−
f доказана.
2. Пусть YXf →: − биективное отображение. Тогда для любого Yy
∈
существует единственный элемент Xx
∈
, для
которого
()
yxf = . Тем самым мы определили отображение
(
)
xygXYg =→ ,: , обладающее свойствами
1
т.е.,,
−
=== fgegfefg
YX
oo . Теорема доказана.
Следствия. 1. Из биективности YXf →: вытекает биективность
1−
f , причем
(
)
ff =
−− 11
.

Страницы