Алгебра. Ткач Л.И. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

5.2. ОТНОШЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ. ФАКТОРМНОЖЕСТВО.
РАЗБИЕНИЕ НА КЛАССЫ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ
Среди бинарных отношений особенно важно отношение эквивалентности, являющееся обобщением понятия равенства
элементов.
Определение 5.2.1. Бинарное отношение ~ на множестве A называется отношением эквивалентности, если оно реф-
лексивное, симметричное, транзитивное. При этом элементы, находящиеся в этом отношении, называются эквивалентными.
Примеры.
1. В курсе геометрии вводится понятие сонаправленности и противоположной направленности лучей a и b:
baba ↑↓↑↑ и . Бинарное отношение сонаправленности на множестве всех лучей пространства, очевидно, рефлексивное:
aa ↑↑
, симметричное:
abba ↑↑⇒↑↑
, транзитивное: caabba ↑↑⇒↑↑↑↑ и , следовательно, бинарное отношение со-
направленности на множестве лучей – отношение эквивалентности. Бинарное отношение противоположной направленности на
множестве всех лучей не является рефлексивным, симметричное не является транзитивным. Следовательно, это бинарное отно-
шение не является отношением эквивалентности.
2. На множестве Z целых чисел бинарное отношение d «сравнимость по модулю
(
)
Nnn ∈ » определяется следующим
образом:
(
)
(
)
{
}
Nnnyxyxd ∈−= ,;
(т.е. x d y тогда и только тогда, когда x – y делится нацело на число n или тогда и только тогда, когда x и y при делении на n дают
одинаковые остатки).
Отношение d рефлексивное (x – x = 0 делится на любое Nn
∈
без остатка), симметричное ( yxZyx
−
∈∀ , делится на n
без остатка
x
y −⇒ делится на n без остатка), транзитивное
(
)
(
)()
nzyyxzxnzynyxZzyx
−
+
−
=
−
⇒
−
−∈
∀
,,, .
Следовательно, бинарное отношение d является отношением эквивалентности.
3. Рассмотрим множество V направленных отрезков (включая и отрезки нулевой длины) в пространстве. Введем на V от-
ношение равенства. Два направленных отрезка и CDAB и называются равными, если они имеют одинаковую длину и одно и
то же направление (это значит, что лучи AB и CD сонаправлены). Очевидно, что это бинарное отношение рефлексивное, сим-
метричное, транзитивное, т.е. является отношением эквивалентности.
4. Рассмотрим на множестве U всевозможных уравнений бинарное отношение равносильности. Два уравнения называ-
ются равносильными, если они имеют одинаковые множества решений. Очевидно, что это бинарное отношение также явля-
ется отношением эквивалентности.
Определение 5.2.2. Пусть на непустом множестве A задано отношение эквивалентности ~, x ∈ A – некоторый элемент
из A. Множество
{}
xyAyx ~∈= элементов, эквивалентных данному x, называется классом эквивалентности по отношению
~, содержащим элемент x (или просто классом эквивалентности элемента x).
Примеры.
1. Как мы уже видели, отношение сонаправленности является отношением эквивалентности на множестве всех лучей.
Это отношение эквивалентности распределяет все лучи по классам эквивалентности. Два луча относятся к одному классу
эквивалентности, если они сонаправленные. Это обстоятельство позволяет ввести понятие направления. Класс эквивалент-
ности некоторого луча по отношению сонаправленности называется направлением этого луча. Таким образом, два луча име-
ют одинаковое направление, если они принадлежат одному классу эквивалентности по отношению сонаправленности.
2. Отношение d «сравнимость по модулю n» также является отношением эквивалентности. Класс эквивалентности це-
лого числа x по отношению d называется классом вычетов по модулю n. Очевидно, что
{}
ZknkxyZyx ∈+=∈= , . Сколько
будет таких классов вычетов по модулю n? Пусть, например, n = 3. Легко увидеть, что:
036 3,k=== =K
147 3 1,k=== = +K
258 3 2,k=== = +K
т.е. таких классов эквивалентности будет всего три, их можно обозначить как 2,1,0 . Поступая аналогично, можно увидеть,
что классов вычетов по модулю n всего n штук: 1,...,2,1,0 −n (т.е. при делении целого числа на число n (n ∈ N) может полу-
читься остаток 0, или 1, или 2, ... , или n – 1).
3. Отношение равенства на множестве направленных отрезков также является отношением эквивалентности. Класс экви-
валентности направленного отрезка по отношению равенства называется свободным вектором.
4. Отношение равносильности на множестве всех уравнений, как мы видели, тоже является отношением эквивалентно-
сти. При решении уравнения
42
мы просто перебираем представителей одного класса эквивалентности по отношению равно-
сильности, пока не придем к наиболее простому представителю, например,
)
)
(
)
12
0
n
xa xa xa
−
−−=K
.
Определение 5.2.3. Фактормножеством
43
A /~ непустого множества A по отношению эквивалентности ~ называется
множество всех классов эквивалентности по отношению ~.
Если проанализировать рассмотренные примеры, то мы заметим, что два разных класса эквива-
лентности не пересекаются, и что каждый элемент принадлежит к какому-то классу эквивалентности.
На самом деле это общие свойства всех классов эквивалентности по отношению эквивалентности, свя-
занные с понятием разбиения.
42
Если делать только равносильные преобразования.
43
Встречается и такой вариант написания этого слова фактор-множество.

Страницы