Алгебра. Ткач Л.И. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

1. МНОЖЕСТВО
1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Любая область человеческой деятельности связана не только с одним предметом, объектом, а с целой совокупностью.
Например, медицина изучает не одну отдельно взятую болезнь, а все болезни, зоология изучает не отдельно взятое живот-
ное, а совокупность всех животных.
Математика, как и другая область человеческих знаний, изучает те или иные объекты не каждый в отдельности, а в их
связи между собой. Объекты, обладающие теми или иными общими свойствами, объединяются вместе в одну совокупность
и изучаются совместно. Например, в геометрии изучают не один отдельно взятый треугольник, а отвлекаются от его поло-
жения на плоскости или даже от его размеров, получая теоремы, справедливые для всех равных или же подобных треуголь-
ников.
Естественно, на это обстоятельство математики давно обратили внимание. Но только в конце XIX века немецкий мате-
матик Георг Кантор
1
создал общую теорию таких совокупностей, имеющую название «теория множеств», которая лежит в ос-
нове всей математики. Почему? Почти каждое издание по «современной» математике говорит о множествах и пестрит стран-
ными символами:
,,, ⊆∈∈
IU ,
, ∅. Дело в том, что теория множеств – это своего рода основа математического языка. Без него
невозможно не только заниматься математикой, невозможно даже объяснить, о чем идет речь. Это все равно, что изучать
китайскую литературу, не зная китайского языка.
К сожалению, понятию «множество» нельзя дать строгого определения. Разумеется, можно сказать, что множество
2
–
это «совокупность», «семейство», «класс», «несколько объектов, объединенных некоторым общим признаком и рассматри-
ваемых как одно целое» и т.д. Однако это было бы не математическим определением, а скорее злоупотреблением словарным
богатством русского языка.
Для того чтобы определить какое-то понятие, нужно прежде всего указать, частным случаем какого более общего поня-
тия оно является. Для понятия множества сделать это невозможно, потому что более общего понятия, чем множество, в ма-
тематике нет.
Человек в процессе своего интеллектуального развития приобретает смысл слова «множество» и математики этим
пользуются, говоря, что «множество» – это основное понятие.
Примеры.
1. Множество букв на этой странице.
2. Множество студентов в группе.
3. Множество преподавателей в аудитории.
Определение 1.1.1. Объекты, составляющие данное множество, называются его элементами.
Пример. Множество дни недели состоит из элементов: понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, вос-
кресенье.
Множества и их элементы обозначаются буквами. Мы будем использовать строчные буквы a, b, c, … для обозначения
элементов, а прописные А, В, С, … – для обозначения множеств, хотя все это относительно, так как сами множества могут
быть элементами других множеств.
Символ принадлежности общепринято имеет вид: ∈. Тогда a ∈ A читается как «элемент a принадлежит множеству A»;
отрицание принадлежности обозначается как
∈ или ∉. Запись d ∉ B читается как «элемент d не принадлежит множеству B».
Пример. Если A – множество дни недели, то суббота ∈ A, а январь ∉ A.
Задавать множества можно как угодно, лишь бы для каждого множества и каждого объекта можно было бы установить,
является ли данный объект элементом данного множества.
Пример. A = {a
1
; a
2
; ...; a
n
} означает, что множество A состоит в точности из n элементов: a
i
, i = 1, …, n.
Определение 1.1.2. Множество, количество элементов которого выражается некоторым числом, называется конечным.
Примеры. Множество студентов-отличников в университете, множество песчинок в мешке с песком.
Определение 1.1.3. Множество, в котором нет элементов, называется пустым. Пустое множество обозначается симво-
лом ∅.
Пример. Множество людей, имеющих рост 0 м.
В пустом множестве количество элементов выражается числом 0, следовательно, оно конечное.
Иногда бывает трудно сказать, пусты ли те или иные множества. Например, до сих пор неизвестно, пусто ли множество
всех живых динозавров на земном шаре, – если чудовище озера Лох-Несс действительно окажется динозавром, то это мно-
жество не пусто.
Вопросы для самопроверки. Что следует понимать под множеством А = {∅}? Верно ли равенство A = ∅? Перечислить
элементы множества B = {∅; {∅}}.
Определение 1.1.4. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным.
Пример. Множество N натуральных чисел
3
.
Если конечное множество можно задать, перечислив все элементы, то как же задавать бесконечные множества?
Бесконечные множества можно задавать указанием определяющего или характеристического свойства его элементов.
Свойство называется характеристическим для некоторого множества, если этому множеству принадлежат в точности те эле-
менты, которые обладают данными свойствами. Например: свойство «быть кубом целого числа» задает бесконечное множе-
ство кубов целых чисел. Это можно записать так: {x : x является кубом целого числа} (читается «множество тех x, которые
являются кубами целых чисел»).
1
Georg Cantor (1845 – 1918).
2
По словам Георга Кантора, «множество − есть многое, мыслимое нами как единое целое».
3
Числовые множества будут рассмотрены позже.

Страницы