Алгебра. Ткач Л.И. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Вообще, обозначив символом P (x) характеристическое свойство элементов множества A, будем писать:
(
)
{
}
xPxA :
=
или
()
{
}
xPxA = .
В такой форме можно задавать любые (и конечные, и бесконечные) множества.
Примеры.
1.
{
}
023:
2
=+− ххх
– множество корней уравнения 023
2
=+− хх .
2. {a : a =
q
p
, где p и q – целые числа, q≠ 0} – множество рациональных чисел.
3. {студент университета: отличник} – множество отличников в университете.
1.2. ПОДМНОЖЕСТВО. РАВЕНСТВО МНОЖЕСТВ
Нередко одно множество оказывается частью другого множества. Например, множество всех женщин составляет часть
множества всех людей; множество четных чисел – часть множества целых чисел. Для описания этой ситуации используется
термин «подмножество».
Определение 1.2.1. Множество A называется подмножеством множества B, если каждый элемент множества A являет-
ся элементом множества B.
Обозначение: A ⊂ B. Читается: «A входит в B», или «A содержится в B», или «B содержит A».
Примеры.
1. N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. (Множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел, которое является
подмножеством множества рациональных чисел, которое, в свою очередь, является подмножеством множества действитель-
ных чисел).
2. Многие теоремы в математике имеют вид: A ⊂ B. Например, в теореме «Диагонали ромба взаимно перпендикулярны»
речь идет о двух множествах: A – множество всех ромбов, B – множество всех геометрических фигур с перпендикулярными
диагоналями. И теорема состоит в том, что A ⊂ B.
Из определения подмножества видно, что всякое множество является подмножеством самого себя: A ⊂ A. Будем считать,
что пустое множество ∅ есть подмножество любого множества: ∅ ⊂ А.
4
Исключив эти «крайние» случаи (т.е. ∅, A), мы получим так называемые собственные подмножества множества A, т.е.
такие, которые не пусты и не совпадают с A.
Определение 1.2.2. Множества A и B равны, если одновременно: A ⊂ B и B ⊂ A (т.е всякий элемент A принадлежит B и
наоборот).
Обозначение: A = B.
В случае равенства множества A и B оказываются состоящими из одних и тех же элементов.
Примеры.
1. A есть множество корней уравнения
045
2
=++ хх , B есть множество, состоящее из двух элементов: –1 и –4, A = B.
2. Все теоремы о том, что некоторое условие является необходимым и достаточным, – это теорема о совпадении двух
множеств. Например: «Для того, чтобы параллелограмм был ромбом, необходимо и достаточно, чтобы его диагонали были
взаимно перпендикулярны» (сравните с соответствующим примером выше).
1.3. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ
Множества можно комбинировать между собой и получать другие множества. Среди бесчисленного количества мыс-
лимых способов комбинирования некоторые оказались полезными.
Определение 1.3.1. Объединением (суммой) двух множеств A и B называется множество C, состоящее из всех тех эле-
ментов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A и B.
Обозначение: C = A
U B.
Примеры.
1. A = {1; 2; 3}, B = {2; 3; 4; 5}, тогда C = A
U B = {1; 2; 3; 4; 5}.
2. A = (– ∞, 2], B = (1, + ∞), тогда C = A
U
B = R.
3. Если А – множество студентов, не сдавших первый экзамен, В – второй, то A
U B – множество студентов-задолжников
после двух экзаменов (не исключено, что кто-то не сдал оба экзамена).
Аналогично определяется объединение любого количества множеств A
1
, A
2
, …, A
k
, … .
Обозначение: A
1
U A
2
U A
3
U ... U А
n
=
i
n
i
A
1=
U – для конечного числа множеств; А
1
U А
2
U … U А
k
U … =
i
i
A
∞
=1
U – для бес-
конечного.
Построенные объединения (суммы) состоят из всех элементов, входящих по крайней мере в одно из множеств A
k
.
Пример.
A
k
= {k} – натуральное число k, тогда А
1
U А
2
U … U А
k
U … =
i
i
A
∞
=1
U = N – множество натуральных чисел.
Определение 1.3.2. Пересечением (произведением) множеств A и B называется множество C, состоящее из тех элемен-
тов, которые принадлежат одновременно каждому из множеств A и B.
Обозначение: C = A
I B.
Пример.
Пусть A = {1; 2; 3}, B = {2; 3; 4; 5}, D = {10; 11}, тогда C = A
I B = {2; 3}, A I D = ∅.
Аналогично определяется пересечение для любого количества множеств A
1
, A
2
, …, A
k
,… .
4
Для этого есть оправдания: ∅ ⊂ A U ∅ = A, ∅ = A I ∅ ⊂ A.

Страницы