Алгебра. Ткач Л.И. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Обозначение: A
1
I A
2
I … I A
n
=
i
n
i
A
1=
I – для конечного числа множеств, A
1
I A
2
I … I A
k
I …=
i
i
A
∞
=1
I – для бесконечного
числа множеств.
Пример.
Студент, сдавший все экзамены на «отлично», получает повышенную стипендию. Сессия состоит из четырех экзаменов.
Пусть А
i
– множество студентов, сдавших i-й экзамен на «отлично» (i = 1, 2, 3, 4), тогда
А
1
I А
2
I А
3
I А
4
=
i
i
A
4
1=
I – множество студентов, получающих повышенную стипендию.
Определение 1.3.3. Разностью множеств A и B называется множество C, состоящее из элементов множества A, не вхо-
дящих в B.
Обозначение: C = A \ B.
Примеры.
1. А
1
\ А
2
– множество студентов, получивших «отлично» на первом экзамене, а на втором – другую оценку (см. преды-
дущий пример).
2. R \ Q – множество иррациональных чисел.
3.
=RQ \ ∅.
Определение 1.3.4. Если B ⊂ A, то множество C = A \ B называется дополнением множества B до множества A.
Обозначение:
B или
A
B .
Пример.
А – множество студентов в группе, В – множество студентов, сдавших первый экзамен, то
В – множество студентов, не
сдавших первый экзамен.
Обычно все множества, которые рассматриваются в том или ином рассуждении, являются подмножествами некоторого
фиксированного множества I. Это множество называется универсальным.
Задача. Пусть универсальным множеством I является множество всех учащихся данной школы. Какие множества при
этом условии можно рассматривать?
Ответ. Множества, состоящие только из учащихся данной школы.
Операции над множествами имеют наглядное представление с помощью диаграмм, на которых множества представле-
ны в виде областей, и те области, где лежат нужные элементы, выделены. Эти диаграммы называются диаграммами Венна
5
(или диаграммами Эйлера
6
-Венна):
Есть и другой способ проиллюстрировать операции над множествами. Составим так называемую таблицу вхождения
элементов в множества по следующему правилу: рассмотрим все возможные случаи вхождения фиксированного элемента в
множества А и В и их комбинации. Результат принадлежности этого элемента множествам А и В отметим в первых двух
столбцах таблицы (1 – если элемент входит в данное множество, 0 – если не входит). Получится четыре случая или четыре
строчки в таблице. Столбцы, соответствующие операциям A
U
B, A
I
B, A \ B, заполним согласно определений этих операций.
А В
А
U В А I В
A \ B
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
Например, вторая строка в таблице читается так: если элемент входит в A, но не входит в B, то он входит в А U В, не входит
в А
I В, но входит в A \ B.
Рассмотрим некоторые важные свойства операций объединения, пересечения и разности. Пусть A, B, C являются под-
множествами для I.
1.
А U В = В U А.
1'. A
I B = B I A.
Эти тождества выражают коммутативность операций объединения и пересечения.
2.
(А U В) U С = А U (В U С).
2'. (А
I В) I С = А I (В I С).
Эти тождества выражают ассоциативность операций объединения и пересечения.
5
Джон Венн (John Venn, 1834 – 1923) – английский логик.
6
Леонард Эйлер (Leonhard Euler, 1707 – 1783) – швейцарский математик, долгое время работавший в России.

Страницы