Алгебра. Ткач Л.И. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

3. А U А = А.
3'. А
I А = А.
Эти тождества называются законами идемпотентности.
4.
А U (В I С) = (А U В) I (А U С).
4'. А
I (В U С) = (А I В) U (А I С).
Эти тождества называются законами дистрибутивности.
5.
ВА U = ВА I .
5'.
ВА U
=
ВА U .
Эти тождества называются
законами дe Моргана
7
.
6.
А U ∅ = А.
6'. А I I = A.
7. АA U = I.
7'.
АA I = ∅.
Докажем свойство 5 на основе таблицы вхождения элементов в множества.
А В А U В
ВА U
А
В
ВА I
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
Из таблицы вхождения элементов в множества видно, что при различных вариантах вхождения элемента в множества
А, В он входит или не входит в левую и правую части доказываемого равенства одновременно (см. соответствующие столб-
цы). Значит,
ВА U
=
ВА I
.
Впервые система с тремя операциями, удовлетворяющими свойствам 1 – 7, 1′ – 7′, рассматривалась английским матема-
тиком Джорджем Булем (George Boole, 1815 – 1864), в связи с чем такие системы получили название
булевых алгебр.
Задача. Вытекает ли из
А \ В = С, что А = ВU С? Вытекает ли из А = В U С, что А \ В = С?
Решение. Рассмотрим первый вопрос. Запишем в другом виде:
)\( ВАВСВА UU
=
=
. Проверим это равенство.
А В ВА \
В
)\( ВАU
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
1
0
0
1
1
1
Мы видим, что столбцы, соответствующие А и В )\( ВАU не совпадают, т.е. это равенство не верное, а верно
А ⊂ )\( ВАB U . (Это можно увидеть и так: )\( ВАB U = В U А и ясно, что А ⊂ В U А = В ))\( ВАU .
Рассмотрим второй вопрос:
А =
СВ U
, верно ли, что ВА \ = С (или ( СВСВ
=
\)U )?
В С
СВ
U ( СВ U ) \ В
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
1
0
0
Это равенство неверное. На самом деле: СВСВ ⊂\)( U .
1.4. НАИВНАЯ И АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
Поскольку исходные положения канторовской теории множеств основываются на пояснениях, а не на строгих опреде-
лениях и аксиомах, эту теорию называют наивной теорией множеств. Однако, несмотря на такое название, в наивной теории
множеств не все так просто. Дело вот в чем.
Одним из положений наивной теории множеств является то, что для выделения множества не нужно указывать те или
иные свойства, с помощью которых выделяется это множество, достаточно сказать «элементы, принадлежащие данному
множеству», т.е. задание множества уже определяет некоторое свойство.
Вскоре выяснилось, что столь широкая точка зрения на понятие множества приводит к противоречиям, которые назы-
ваются антиномиями
8
. Например, в 1902 г. Б. Рассел
9
обнаружил парадокс (антиномия Рассела), заключающийся в следую-
щем.
7
Де Морган А. (A. De Morgan, 1806 – 1871) – шотландский математик.
8
Антиномия (парадокс) – ситуация, когда в теории доказываются два исключающих друг друга суждения, причем каждое из этих
суждений выведено верными средствами с точки зрения данной теории.
9
Bertrand Russel (1872 – 1970) – английский математик и логик, лауреат Нобелевской премии по литературе в 1950 году, один из
инициаторов Пагоушского движения. Одним из известных литературных произведений Б. Рассела является «История западной филосо-
фии».

Страницы