Алгебра. Ткач Л.И. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Аксиомы теории ZFС вводятся на формализованном языке
20
, изложение которого не входит в нашу задачу. Тем не ме-
нее отметим, что согласно аксиомам теории ZFС можно образовать множество всех подмножеств данного множества (это
постулируется аксиомой степени
21
), можно рассматривать подмножество данного множества, образованное элементами с
какими-то свойствами (аксиома выделения), можно рассмотреть множество всех элементов, входящих хотя бы в один из
элементов данного множества (аксиома объединения или суммы). Далее, множество однозначно определяется своими эле-
ментами (аксиома объемности), аксиомы теории ZFС обеспечивают возможность для построения модели множества N на-
туральных чисел (аксиома бесконечности), следовательно, и всех чисел, на основании аксиом теории ZFС возможно ввести
понятие как неупорядоченной, так и упорядоченной пары множеств (аксиома пары) и т.д.
22
Однако, во-первых, нельзя признать, что средств ZFС достаточно для нужд математики (например, Справочная книга
по математической логике. М., 1982. Т. 2, Гл. I, с. 19) и, во-вторых, во взглядах на то, каким образом можно было бы достиг-
нуть удовлетворительного обоснования теории множеств, все еще имеется большое расхождение, и громадное количество
возникающих в этой связи проблем еще далеко не решено.
23
В заключение приведем два замечательных высказывания Н. Бурбаки:
«Вот уже двадцать пять веков математики имеют обыкновение исправлять свои ошибки и видеть в этом обогащение, а
не обеднение науки; это дает им право смотреть в будущее спокойно»;
«Сегодня мы знаем, что, логически рассуждая, возможно вывести почти всю известную математику из единого источника
− теории множеств».
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 1
Умение решать задачи – практическое
искусство, подобное плаванию,
или катанию на лыжах, или игре на
фортепьяно: научиться этому можно,
лишь подражая избранным образцам
и постоянно тренируясь…
Д. Пойа
1.1. Пусть А – множество корней уравнения 023
2
=+− хх , а В = {0; 2}. Найти ABBABABA \,\,, UI .
1.2. Двое играют в шахматы. Обозначим: А – множество партий, в которых выиграл первый игрок, В – множество пар-
тий, в которых выиграл второй игрок. Описать множества:
а) ВА U ;
г)
ВА I ;
ж) В \ А;
б)
ВА U ;
д)
АВ \ ; з) ВА \ .
в)
ВА I
;
е)
ВА \ ;
1.3. Мишень состоит из десяти кругов, ограниченных концентрическими окружностями с радиусами R
1
< R
2
< … < R
10
.
Множество А
k
есть множество попаданий в круг радиуса R
k
. Описать множества:
а)
31
ААВ U=
6
АU ;
б)
8642
ААААС III= ;
в)
631
)( АААD IU= .
1.4. Какое из двух множеств является подмножеством другого:
а) Р и
QР I ;
б) Р и
QP U .
жуточных мощностей. Эта гипотеза получила название континуум-гипотеза (CH). CH была первой из 23 проблем, сформулированных в
1900 г. Д. Гильбертом на II Международном математическом конгрессе в Париже. Только в 1940 г. Гёделю удалось доказать совместимость
ZF как с AC, так и с CH и построить модель ZFC + CH. В 1963 г. американский математик П. Коэн доказал, что
AC и CH независимы и
друг от друга и от аксиоматики ZF (см. книгу Коэн П. Дж. «Теория множеств и континуум-гипотеза». М., 1969). За полученные результаты
П. Коэн был награжден самой престижной математической наградой
− премией и медалью Филдса на Международном математическом
конгрессе 1966 г. в Москве.
20
Формализованный язык – искусственный (в отличие от естественного, например, русского) язык, характеризующийся точными
правилами построения выражений и их понимания. (См. Математика. Большой энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю.В. Прохоров. М. :
Большая Российская энциклопедия, 1998. С. 609.).
21
К сожалению, в математической литературе существуют разные (но, тем не менее, определяющие один и тот же объект) варианты
названий, состава и содержания аксиом теории ZFС. Упомянутая аксиома называется также аксиомой булеана или аксиомой множества
множеств.
22
Элементарное обсуждение аксиом теории ZFС и выводов из этой системы аксиом можно прочитать в книге Зорич В.А. Математи-
ческий анализ. М. : Наука. 1981. Ч. 1. С. 38.
23
Изложение материала носило ознакомительный характер, желающим более подробно изучить рассмотренные вопросы можно по-
рекомендовать цитируемые монографии. Очень доступное изложение этих вопросов можно также найти в книгах: Виленкин Н.Я., Дуни-
чев К.И. и др. Современные основы школьного курса математики. М. : Просвещение, 1980; Жолков С.Ю. Математика и информатика для
гуманитариев. М. : Гардарики, 2002.

Страницы