Алгебра. Ткач Л.И. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Обозначим через M множество всех множеств, которые не являются элементами самих себя. Предположим, что M со-
держит само себя: M
∈ M. Тогда, согласно определению M, оно не содержит самого себя: M ∉ M. Полученное противоречие
доказывает, что наше предположение неверно и потому M не содержит самого себя: M
∉ M. Но тогда, по определению M,
оно должно содержать себя: M
∈ M. Итак, M и содержит себя в качестве элемента и не содержит себя. Значит, понятие мно-
жества M внутренне противоречиво.
Кроме антиномии Рассела, были обнаружены и другие неожиданные выводы. Во многих доказательствах различных тео-
рем использовалось следующее утверждение, впервые сформулированное в 1904 г. Э. Цермело
10
(это утверждение носит на-
звание аксиома выбора (AC)
11
):
Если дана некоторая совокупность множеств
{
}
α
M , состоящая из непустых попарно непересекающихся множеств
α
M , то существует множество N, пересекающееся с каждым из множеств
α
M по одному элементу
α
a (т.е. можно вы-
брать в каждом из множеств
α
M по элементу
α
a ).
12
С помощью АС были получены результаты, плохо согласующиеся с интуитивными представлениями и здравым смыс-
лом. В 1924 г. С. Банах
13
и А.Тарский
14
установили, что любой шар может быть разбит на конечное число частей так, что
переставляя их, можно в другом порядке сложить шар вдвое больший, чем данный
15
.
Парадоксы вроде вышеуказанных побудили математиков подвергнуть систематическому изучению основы математики.
Конечная цель этих исследований заключалась в создании для теории множеств (тем самым и для всей математики) такой
логической базы, относительно которой можно было бы доказать, что она свободна от возможных противоречий, и которая
вместе с тем была бы достаточной, чтобы из нее можно было бы вывести все, что в математике признается существенным.
В качестве такой логической базы были приняты наиболее важные свойства (названные аксиомами теории множеств),
определяющие множества и правила действий с ними. Таким образом, теория множеств становится аксиоматической тео-
рией множеств, т.е. теория множеств строится аксиоматическим методом.
Поясним вкратце суть аксиоматического метода. В математической теории за определение нового вводимого понятия
признается только такая формулировка, которая полностью сводит новое понятие к уже известным понятиям той же теории.
Отсюда ясно, что математика не может начинаться с определений. В определении какого-нибудь понятия мы пользуемся
другими понятиями, которые, в свою очередь, раньше были введены с помощью других понятий. Но это сведение не может
быть бесконечным, когда-то придется остановиться на понятиях, не определяя их. Последние называются первоначальными,
или основными, понятиями.
С перечисления основных понятий и должно начинаться логически строгое построение и изложение любой математи-
ческой теории.
Между основными понятиями устанавливаются некоторые взаимоотношения. Эти взаимоотношения называются ак-
сиомами данной научной области, они принимаются без доказательства. Полный список аксиом приводится одновременно с
перечнем основных понятий. Список основных понятий и аксиом является фундаментом логического построения математи-
ческой теории. После того как он установлен, всякое новое понятие должно быть определено с помощью ранее введенных и
первоначальных понятий, а каждая новая теорема доказана на основе ранее доказанных теорем и аксиом. В этом состоит
аксиоматический метод построения теории.
Выбор системы первичных понятий и аксиом может быть осуществлен по-разному. Но набор их должен подчиняться
определенным требованиям. Построенная на основе выбранной системы аксиом теория не должна содержать противоречий.
Это значит, что, пользуясь ими, нельзя логически доказать два взаимно исключающих утверждения. Если система аксиом
удовлетворяет такому требованию, она называется непротиворечивой. Кроме того, система аксиом должна быть полной, т.е.
такой, чтобы на ее основе можно было получить любое утверждение данной теории. Наконец, системе аксиом нужно быть
независимой, т.е. такой, чтобы ни одна аксиома системы не была следствием ее остальных аксиом. Если какая-нибудь из ак-
сиом может быть доказана с помощью других аксиом системы, то ее придется отнести к теоремам. Впрочем, требование не-
зависимости имеет для построения теории скорее практическое, чем принципиальное значение. Отметим, что в математике
существуют методы доказательства непротиворечивости, полноты и независимости системы аксиом (более подробно, напри-
мер, в книге Успенский В.А. Что такое аксиоматический метод? Ижевск : Издательский дом «Удмуртский университет», 2000.).
В 1908 г. попытку аксиоматизации теории множеств предпринял Э. Цермело. В аксиоматике Цермело уже не было
средств для получения множеств, фигурирующих в антиномиях, известных к тому времени.
В 1922 г. аксиоматика Цермело была модифицирована Абрахамом Френкелем
16
. На основе этой системы строится тео-
рия множеств, которая называется теорией ZF
17
(в честь Цермело и Френкеля). Если мы добавим к этой теории аксиому вы-
бора, то получим теорию, называемую ZFC. В настоящее время теория ZF наиболее часто используется для формализации
теории множеств, хотя имеются и другие варианты
18
аксиоматики
19
.
10
Ernst Zermelo (1871 – 1953) – немецкий математик.
11
Choice по-английски – выбор.
12
Элементарное обсуждение вопросов, связанных с аксиомой выбора, можно найти в книге: В. Серпинский. О теории множеств. М.
: Просвещение, 1966.
13
Stefan Banach (1892 – 1945) – польский математик.
14
Tarski A. (1902 – 1983) – американский математик польского происхождения.
15
Это так называемый парадокс Банаха-Тарского. Указать конкретный способ разбиения здесь невозможно. В предлагаемом же разбиении
получаются очень уж необычные части: у них нет объемов (или как говорят математики, они неизмеримы!).
16
Abraham A. Fraenkel (1865 – 1965) − израильский математик и логик.
17
Стандартный набор аксиом теории ZF можно найти, например, в книгах: Клини С. «Математическая логика». М., 1973, Куратов-
ский К., Мостовой А. «Теория множеств». М., 1970, Френкель А.А., Бар-Хиллел И. «Основания теории множеств». М., 1966.
18
Аксиоматическая система GB, отличная от ZF, была предложена К. Гёделем (K. Gödel, 1906 – 1978) и П. Бернайсом (P. Bernays,
1888 – 1977).
19
Мы совсем не упомянули еще об одной проблеме, способствовавшей исследованию основ математики. Сделаем только краткое
пояснение. В ряде статей Кантор сформулировал гипотезу, согласно которой между мощностью счетного множества и мощностью множе-
ства действительных чисел, которая называется мощностью континуума (от латинского слова, означающего «непрерывный»), нет проме-

Страницы