Алгебра. Ткач Л.И. - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

2) Рассмотрим подстановку
=β
5
5
41
43
32
21
. Очевидно, подстановка β является циклом на множестве
{}
5;4;3;2;1=X , причем β = (123). Элементы 4, 5 не являются действительно перемещаемыми и поэтому мы их не пишем в
представлении β = (123), но мы их обязаны помнить, поэтому, и говорим о подстановке β = (123) на множестве
{}
5;4;3;2;1=X .
3) Любая транспозиция
−
−
=τ
n
n
n
n
i
j
j
i
ij
1
1
3
3
21
21
K
K
K
K
K
K
является циклом длины 2 на множестве
{}
nX ...;;3;2;1= . Согласно сделанным замечаниям ее можно записать в виде
(
)
(
)
jiij
ij
==τ
.
Определение 9.3.5. Циклы на множестве X называются независимыми, если множества их действительно перемещае-
мых элементов не пересекаются.
Пример. Рассмотрим подстановку
=α
7
7
56
65
12
43
43
21
на множестве
{
}
7;6;5;4;3;2;1
=
X . Подстановка
α
на
множестве
X не является циклом (например, элементы 5 и 1 действительно перемещаемые, но для любого целого числа k
()
15 ≠α
k
), но если ограничиться множеством
{
}
XX ⊂
=
′
4;3;2;1 , то подстановка
α
совпадет с подстановкой одного из
предыдущих примеров и, естественно, будет являться циклом на множестве
X
′
. Аналогично можно увидеть, что подстанов-
ка
α на множестве
{}
6;5=
′′
X тоже является циклом. На множестве
{
}
7
=
′
′
′
X подстановка α является тождественной под-
становкой. Заметим, что подстановку α на множестве
{
}
4;3;2;1
=
′
X можно записать как
()
1324
12
43
43
21
=
, на множе-
стве
{}
6;5=
′′
X – как
()
56
56
65
=
, на множестве
{
}
7
=
′
′
′
X – как
()
7
7
7
=
. Таким образом, подстановка
α
по существу
оказалась «разложенной на три части», каждая из которых перемещает элементы своей области определения.
Сделанные ранее замечания по поводу записи циклов позволят нам представить подстановку α в виде произведения
независимых циклов. Представим циклы на множествах
XXX
′
′
′
′
′
′
,, , как циклы на одном множестве
{}
7;6;5;4;3;2;1=X :
=
7
7
65
65
12
43
43
21
)1324(– мы «добавили» элементы 5, 6, 7, не изменив структуры цикла,
()
=
7
7
56
65
43
43
21
21
56
– снова мы «добавили» элементы 1, 2, 3, 4, 7, расширяющие область определения подста-
новки, не изменив первоначальный цикл,
()
=
7
7
65
65
43
43
21
21
7
– это та же тождественная подстановка, но на «большем» множестве
X. Таким образом,
()()()
==
=α
7561324
7
7
56
65
12
43
43
21
⋅
7
7
65
65
12
43
43
21
⋅
7
7
56
65
43
43
21
21
⋅
7
7
65
65
43
43
21
21
.
Заметим следующее: 1) так как циклы независимы, то их можно переставлять в произведении, 2) тождественную подстановку, как не
изменяющую произведение подстановок, можно не писать в данном произведении. Учитывая все сказанное, получим представление под-
становки α в виде произведения независимых циклов:
α
= (1324) (56) = (56) (1324). Оказывается, что подобным образом можно любую
подстановку представить в виде произведения независимых циклов. Уточним это утверждение.
Теорема 9.3.1. Любая подстановка α , не являющаяся тождественной, представляется в виде произведения независимых
циклов длины не менее 2, причем единственным образом (с точностью до порядка множителей).
Доказательство. Рассмотрим на множестве X бинарное отношение ∼, определенное следующим образом: i ∼ j, i ∈ X, j ∈
X ⇔ существует такое число k ∈ Z, что
()
ji
k
=α
. Это бинарное отношение является:
1) рефлексивным (так как
(
)()
iiei ==α
0
, поэтому i ∼ i для любого i ∈ X);
2) симметричным (так как, если
()
ji
k
=α , то
(
)
ij
k
=α
−
, и поэтому i ∼ j ⇒ j ∼ i для любых i ∈ X, j ∈ X);
3) транзитивным (так как, если
()
ji
k
=α
и
(
)
sj
l
=α
, то
(
)
si
lk
=α
+
, и поэтому i ∼ j, j ∼ s ⇒ i ∼ s для любых i ∈ X, j ∈ X, s
∈
X).
Следовательно, это бинарное отношение на множестве
X является отношением эквивалентности. Далее, множество X
разбивается на непересекающиеся классы эквивалентности:
t
XXXX ∪∪∪
=
...
21
. Таким образом, любой элемент i ∈ X
находится только в одном классе эквивалентности (обозначим его
i
X ), и этот класс эквивалентности состоит из образов
элемента
i при действии различных степеней подстановки
α
:
() () () ()
{
}
...,,,,,...,
212
iiiiiX
i
αααα=
−−
. Уточним состав эле-
ментов класса эквивалентности
i
X . Рассмотрим образы элемента i при действии неотрицательных степеней подстановки
α
:

Страницы