Алгебра. Ткач Л.И. - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

9.3. РАЗЛОЖЕНИЕ ПОДСТАНОВКИ В ПРОИЗВЕДЕНИЕ
НЕЗАВИСИМЫХ ЦИКЛОВ
Определим целую степень подстановки.
Определение 9.3.1. Пусть s ∈ Z, тогда
<αα
=
>αα
=α
+−
−
.0если,
;0если,
;0если,
11
1
s
se
s
s
s
s
Очевидно, что если s > 0, то
43421
K
разs
s
ααα=α ; если s < 0, то
4434421
K
раз
111
s
s
−−−
ααα=α .
Справедливы также равенства
smmsms
αα=α=αα
+
для любых s ∈ Z и m ∈ Z.
Определение 9.3.2. Элемент j ∈ X называется действительно перемещаемым подстановкой α , если
(
)
jj
≠
α .
Пусть подстановка α на множестве
X не является тождественной. Рассмотрим образы действительно перемещаемого
подстановкой α элемента
j (так как α не тождественная подстановка, то они существуют) при действии неотрицательных
степеней подстановки
α :
() () () ()
...,...,,,,
210
jjjjj
l
αααα= (1)
Так как каждый из элементов
()
Xj
i
∈α
, а в множестве X конечное число элементов, то существует такая наименьшая
степень
s ∈ N, что
()
jj
s
=α
. Таким образом, последовательность (1) имеет циклический характер:
() () () () () ()
...,,,,...,,,,
211210
jjjjjjjj
s
αααααα=
−
(2)
Рассмотрим первые
s элементов:
() () () ()
jjjjj
s 1210
...,,,,
−
αααα= . (3)
В (3) все элементы различны. Так как если
() ()
jj
lk
α=α
, 10
−
≤
<
≤
skl , то
()
(
)
()
(
)
jj
llkl
αα=αα
−−
или
()
jj
lk
=α
−
,
sslk <−<−< 10 , что противоречит выбору числа s.
Может случиться так, что в (3) содержатся все действительно перемещаемые подстановкой α элементы множества
X
(которые, однако, могут не заполнять все множество
X). В этом случае подстановка
α
является циклом на множестве
{}
nX ...;;3;2;1= . Дадим точное определение.
Определение 9.3.3. Подстановка α на множестве X называется циклом на множестве X, если: для любых действитель-
но перемещаемых подстановкой α элементов
i ∈ X и j ∈ X существует такая целая степень k, что
()
ji
k
=α .
Заметим еще раз, что все элементы множества
X не обязаны быть действительно перемещаемыми циклом
α
. Например,
тождественная подстановка
e на множестве X тоже является циклом на множестве X.
Определение 9.3.4. Пусть α – цикл на множестве X. Наименьшее положительное число l такое, что e
l
=α называется
длиной цикла на множестве X (или просто длиной цикла α).
Очевидно, что если существуют действительно перемещаемые циклом α элементы, то их количество совпадает с дли-
ной цикла α на множестве
X.
Пример. 1) Тождественная подстановка, согласно определению, тоже является циклом, и длина этого цикла равна 1.
2) Рассмотрим подстановку
=α
12
43
43
21
. Возьмем один из действительно перемещаемых подстановкой α элемент,
например,
j = 1. Тогда
( ) () ( ) ()
(
)
(
)
(
)
(
)()
11,41,231,31
443322
=α=α=α=α=α=α=α=α=α jjjj . Таким образом, s = 4. Лег-
ко увидеть, что α является циклом на множестве
{
}
4;3;2;1
=
X длиной 4 (действительно, все элементы из X действительно
перемещаемые и для любых действительно перемещаемых подстановкой
α
элементов i и j можно указать нужное число k,
что проверяется простым перебором, кроме того,
e
l
=α=α
4
).
Учитывая структуру циклов, их удобнее записывать (причем начинать можно с любого действительно перемещаемого
элемента
j) в виде
() () ()
(
)
jjjj
s 12
...
−
ααα , опуская элементы из X, не являющиеся действительно перемещаемыми. При этом,
однако, надо помнить множество
X, так как не все элементы из X могут быть действительно перемещаемыми.
Примеры.
1) Цикл α из предыдущего примера можно записать в виде
α
= (1324), а также в любом из следующих видов
α
= (3241)
= (2413) = (4132).

Страницы