Алгебра. Ткач Л.И. - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Для дальнейшего нам будет удобно использовать функцию
(
)
xy sgn
=
.
52
Напомним определение этой функции:
()
<−
=
>
==
.0если,1
,0если,0
,0 если,1
sgn
x
x
x
xy
График этой функции выглядит так:
Определим, по аналогии со «знаком числа», понятие знак подстановки.
Определение 9.2.3. Пусть α – некоторая подстановка. Знак подстановки α определяется следующим образом:
()
−α−
−
α
=α
а.подстановк нечетная если,1
;аподстановкчетная если,1
sgn
Теорема 9.2.2.
()
() ( )
α−α
−
=α
∏
<
∈∈
ji
XjXi
ji
ji
:,
sgnsgn .
Доказательство. Докажем теорему для четных подстановок (для нечетных подстановок доказательство аналогичное).
Если α – четная подстановка
()()
1sgn =α , то число инверсий для подстановки
α
четное число. Поэтому в произведении
() ( )
∏
<
∈∈
α−α
−
ji
XjXi
ji
ji
:,
множителей, равных –1, четное число. Следовательно,
() ( )
()
α==
α−α
−
∏
<
∈∈
sgn1sgn
:,
ji
XjXi
ji
ji
. Теорема дока-
зана.
Теорема 9.2.3. Если подстановки
α
и β на одном множестве X, то
(
)
(
)()
βsgnsgnβsgn
α
=
α
.
Доказательство. Пусть
() () () () () () () ()
=
αααα
=α
n
n
n
n
β...3β
...3
2β1β
21
βи
...3
...3
21
21
.
Согласно теореме 9.2.2, получаем:
()
()()()()
=
α−α
−
=α
∏
<
∈∈
ji
XjXi
ji
ji
:,
ββ
sgnβsgn
() ( )
() ( )
()() ()()
() ( )
() ( )
()() ()()
=
α−α
−
⋅
−
−
=
=
α−α
−
⋅
−
−
=
∏∏
∏
<
∈∈
<
∈∈
<
∈∈
ji
XjXi
ji
XjXi
ji
XjXi
ji
ji
ji
ji
ji
ji
ji
ji
:,:,
:,
ββ
ββ
sgn
ββ
sgn
ββ
ββ
ββ
sgn
()
() ( )
()() ()()
α−α
−
=
∏
<
∈∈
ji
XjXi
ji
ji
:,
ββ
ββ
sgnβsgn
.
52
Эта функция называется «сигнум x» (в переводе с латинского слово «сигнум» переводится как знак) и не является элементарной.
В литературе встречается также обозначение
()
xy sign= .
y
1
x
0
–1

Страницы