Алгебра. Ткач Л.И. - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

−
−
nn
nn
i
j
j
i
1
1
...
...
...
...
...3
...3
21
21
.
Заметим, что 1)
jiij
ττ = и 2)
ijij
ττ
1
=
−
(т.е. e
ijij
=
ττ ). Транспозиции являются наиболее «простыми» подстановками по
своей структуре, после тождественной, среди всех подстановок.
9.2. ЧЕТНОСТЬ И НЕЧЕТНОСТЬ ПОДСТАНОВКИ
Определение 9.2.1. Неупорядоченная пара элементов
{
}
Xiji
∈
,; ,
(
)
jiXj
≠
∈
называется правильной для подста-
новки
α , если
() ( )
0>
α−α
−
ji
ji
,
и неправильной (или инверсией) для подстановки α , если
() ( )
0<
α−α
−
ji
ji
.
Заметим, что неупорядоченность пар элементов
{
}
,,; Xiji
∈
Xj
∈
(
)
ji
≠
в этом определении равносильна условию i
<
j для пар элементов
{}
XjXiji ∈∈ ,,; .
Определение 9.2.2. Если число инверсий для подстановки
α
четно, то подстановка
α
называется четной, если нечет-
но, то –
нечетной.
Примеры.
1) Тождественная подстановка e является четной подстановкой, так как число инверсий равно нулю
(
() ( )
01 >=
−
−
=
−
−
ji
ji
jeie
ji
, для любых
jiXjXi
≠
∈∈ ,,
).
2) Найдем число инверсий для подстановки
=α
2
3
13
21
. Выпишем все неупорядоченные пары элементов: {1; 2}, {1;
3}, {2; 3} (отметим, что пары элементов, например, {1; 2} и {2; 1} – это одна и та же неупорядоченная пара элементов). Да-
лее,
() ( )
0
13
21
21
21
<
−
−
=
α−α
−
, следовательно, {1; 2} – инверсия для
α
;
() ()
0
23
31
31
31
<
−
−
=
α−α
−
, следовательно, {1; 3} – инверсия для
α
;
() ()
0
21
32
32
32
>
−
−
=
α−α
−
, следовательно, {2; 3} – правильная пара для α.
Таким образом, число инверсий для подстановки
α
четно и подстановка
α
является четной.
Теорема 9.2.1. Любая транспозиция является нечетной подстановкой.
Доказательство. Рассмотрим транспозицию
−
−
=
nn
nn
i
j
j
i
ij
1
1
...
...
...
...
...3
...3
21
21
τ
.
Подсчитаем инверсии для этой транспозиции. Неупорядоченная пара {i; j} является инверсией, так как
() ( )
01
ττ
<−=
−
−
=
−
−
ij
ji
ji
ji
ijij
. Рассмотрим неупорядоченные пары вида {s; i}, s ≠ i, s ≠ j:
() ()
<<<
><<>
=
−
−
=
−
−
.при,0
, и при,0
ττ
jsi
jsjis
js
is
is
is
ijij
Таким образом, инверсий вида {s; i} будет j – i – 1 штука. Рассмотрим неупорядоченные пары вида {s; j}, s ≠ i, s ≠ j:
() ()
<<<
><<>
=
−
−
=
−
−
.при,0
, и при,0
ττ
jsi
jsjis
is
js
js
js
ijij
Таким образом, инверсий вида {s; j} тоже j – i – 1 штука. Всего инверсий для транспозиции
ij
τ
будет
()()()
121111
−
−+=−−+−−+ ijijij – нечетное число. Следовательно, транспозиция
ij
τ
– нечетная подстановка. Теорема
доказана.

Страницы