Алгебра. Ткач Л.И. - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

9. ПОДСТАНОВКИ
9.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Пусть X − конечное множество, состоящее из n элементов. Обозначим их 1; 2; 3; …; n.
Определение 9.1.1. Биективное (или взаимно однозначное) отображение XX →
α
: называется подстановкой
α
на
множестве
X.
Так как множество
X конечное, то α можно полностью определить, задав для каждого i ∈ X образ α (i). Поэтому под-
становки
α естественно обозначать в виде матрицы с двумя строками:
() ( ) () ( )
αααα
=α
n
n
...3
...3
21
21
,
в которой первая строка есть область определения
α
, а вторая строка − соответствующие образы элементов i ∈ X. В том
случае, когда выделение или упоминание множества
X не существенно, мы вместо подстановок на множестве X будем гово-
рить просто о подстановках.
Примеры.
1)
=
4
4
3
3
21
21
e − тождественная подстановка на множестве
{
}
4,3,2,1
=
X , которая соответствует тождествен-
ному отображению
XXe →: .
2)
=
3
4
1
3
22
21
ε
− не является подстановкой на множестве
{
}
4,3,2,1
=
X , так как соответствующее отображение
XX →:ε не является биективным (
() ( )
22ε1ε == ) на множестве
{
}
4;3;2;1
=
X .
Теорема 9.1.1. Число всех подстановок на множестве X = {1; 2; 3; …; n} равно n!.
Доказательство. Подстановки на множестве X отличаются только второй строкой. Поэтому число подстановок на множе-
стве
X равно числу способов упорядочить n элементов во второй строке, т.е. n!. Теорема доказана.
Определение 9.1.2. Подстановки α и β на множестве X называются равными, если они равны как отображения
XX →α : и XX →:β (т.е. α (i) = β(i) для любого i ∈ X).
Определение 9.1.3. Произведением подстановок
α
и β называется подстановка γ, соответствующая отображению
XX →:γ , равному суперпозиции βo
α
отображений XX →
α
: и XX →:β .
Произведение подстановок α
и β обозначается βα .
Пример. Найдем произведение βα подстановок
=
=α
31
43
42
21
βи
12
43
34
21
.
Надо найти образ )β(α (i) каждого элемента i ∈
{
}
4;3;2;1=X (напомним, что, согласно определению суперпозиции отображе-
ний,
)(β)( iα = ))β(( iα для любого i ∈ X):
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
321β1β
=
α
=
α
=
α ;
()
(
)
(
)
(
)
(
)
142β2β
=
α
=
α
=
α ;
()
(
)
(
)
(
)
(
)
413β3β
=
α
=
α
=
α ;
()
(
)
(
)
(
)
(
)
234β4β
=
α
=
α
=
α .
Таким образом,
=α
24
43
13
21
β
.
Отметим основные свойства произведения подстановок, которые вытекают из свойств отображений:
1)
eα
=
αe
=
α
,
2)
βα ≠ αβ (вообще говоря),
3)
()
γα β = γαβ)( .
Определение 9.1.4. Обратной подстановкой для подстановки
α
называется такая подстановка β, что β
α
=
α
β = e.
Обратная подстановка для подстановки α обозначается α
–1
. Очевидно, обратная подстановка
1−
α соответствует обрат-
ному отображению к отображению
XX →α : . Так как отображение XX →
α
: является биективным, то обратная подста-
новка
1−
α всегда существует и является единственной. Заметим, что
(
)
α=α
−− 11
.
Пример. Обратной подстановкой для подстановки
=α
32
43
14
21
будет подстановка
=α
−
14
43
32
21
1
. В чем
легко убедиться непосредственно:
e=αα=αα
−− 11
.
Определение 9.1.5. Транспозицией
ij
τ
на множестве X = {1; 2; 3; …; n} называется подстановка вида

Страницы