Алгебра. Ткач Л.И. - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Обозначим больший из элементов β(i) и β(j) множества X символом j′, а меньший – i′ (это всегда можно сделать, так как
β(
i) ≠ β(j)). Тогда
() ( )
()() ()()
() ( )
ji
ji
ji
ji
′
α−
′
α
′
−
′
=
βα−βα
β
−
β
. Более того, для любой пары элементов i′ и j′ (i′ < j′) множества X найдется
такая пара элементов
i и j (i < j) множества X, что
() ( )
(
)
(
)
()() ()()
ji
ji
ji
ji
βα−βα
β
−
β
=
′
α−
′
α
′
−
′
(действительно, пусть
() ( )
jjii
′′
β
=
′
′′
β=
′
и
, обозначив больший из элементов jji каки
′
′
′
′
, а меньший – как i, получим тре-
буемое равенство). Таким образом, мы доказали равенство
(
)
(
)
()() ()()
() ( )
∏∏
′
<
′
∈
′
∈
′
<
∈∈
′
α−
′
α
′
−
′
=
βα−βα
β
−
β
ji
XjXi
ji
XjXi
ji
ji
ji
ji
:,:,
.
Окончательно,
() ()
() ( )
()() ()()
=
βα−βα
β−β
β=αβ
∏
<
∈∈
ji
XjXi
ji
ji
:,
sgnsgnsgn
()
() ( )
() ( )
αβ=
′
α−
′
α
′
−
′
β=
∏
′
<
′
∈
′
∈
′
sgnsgnsgnsgn
:,
ji
XjXi
ji
ji
.
Теорема доказана.
Из данной теоремы легко получаются следующие соотношения.
1.
()
(
)
1
sgnsgn
−
α=α .
Действительно,
(
)
(
)
1sgnsgn
1
==αα
−
e ,
далее,
(
)
()
(
)
1sgnsgnsgn
11
=αα=αα
−−
.
Следовательно, числа
()
(
)
1
sgnиsgn
−
αα одного знака, т.е.
(
)
(
)
1
sgnsgn
−
α=α .
2. Если
() ()
τ
−
=αττ=α sgnsgnто,
ij
.
Это равенство тоже простое следствие предыдущей теоремы:
(
)
1sgn −=τ
ij
,
(
)
(
)
(
)
(
)
τ
−
=
τ
τ
=
α
sgnsgnsgnsgn
ij
.
Теорема 9.2.4. Число четных подстановок на множестве
{
}
nX ...;;3;2;1
=
равно числу нечетных подстановок на мно-
жестве
{}
nX ...;;3;2;1= и равно
2
!
n
.
Доказательство. Пусть
k
α
α
α
...,,,
21
– (1)
все четные подстановки на множестве X, взятые по одному разу. Умножим каждую четную подстановку из (1) на какую-
нибудь транспозицию
ij
τ
, получим нечетные (согласно 2) подстановки:
kijijij
ατατατ ...,,,
21
. (2)
Заметим, что:
1) любая нечетная подстановка β присутствует в (2). Действительно, пусть β – некоторая нечетная подстановка, тогда
ij
τ β будет четной подстановкой. Следовательно, обязательно существует некоторая подстановка
k
α из (1), равная
βτ=αβτ
ijkij
: . Тогда в (2) содержится нечетная подстановка
(
)
(
)
β=
β
=
β
τ
τ
=
β
τ
τ
=
α
τ
e
ijijijijkij
;
2) все подстановки в (2) различные, так как если
(
)
sl
sijlij
≠ατ=ατ
, то умножив слева на
ij
τ
, получим противоречивое
равенство
sl
α=α .
Таким образом, в (2) присутствуют все нечетные подстановки на множестве
X и по одному разу. Причем их столько же,
сколько и четных в (1). Поэтому четных и нечетных подстановок на множестве
X поровну, т.е.
2
!
n
. Теорема доказана.

Страницы