Лекции по алгебре. Выпуск III. Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах. Тронин С.Н. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Этим индуктивное построение заканчивается.
Еще раз напомним, что условием окончания построения является ра-
венство
⟨u
1
, . . . , u
j
⟩ = ⟨v
1
, . . . , v
j
⟩ = ⟨v
1
, . . . , v
m
⟩ = W.
В частности, при j < m это означает, что v
j+1
∈ ⟨v
1
, . . . , v
j
⟩. Если усло-
вие выполнено, а мы, тем не менее, захотим все же построить вектор
u
j+1
, то получится вот что. Все предыдущие построения и рассуждения
сохраняются, но оказывается, что вектор u
j+1
, выражающийся в ви-
де линейной комбинации v
1
, . . . , v
j
, v
j+1
, фактически выражается толь-
ко через v
1
, . . . , v
j
(так как v
j+1
есть линейная комбинация v
1
, . . . , v
j
).
Но каждый из векторов v
s
, 1 ≤ s ≤ j, по предположению индукции (по
построению) есть линейная комбинация векторов u
1
, . . . , u
j
. Таким об-
разом, и вектор u
j+1
будет линейно комбинацией векторов u
1
, . . . , u
j
.
Это означает, что множество векторов u
1
, . . . , u
j
, u
j+1
линейно зави-
симо. Вместе с тем, по построению все эти векторы попарно ортого-
нальны. Если допусить, что u
j+1
̸= 0, то мы получим противоречие с
теоремой 2.4.1. Следовательно, u
j+1
= 0, и легко убедиться, что и по-
следующие векторы u
j+2
, . . . , u
m
также окажутся нулевыми.
Однако, если векторы v
1
, . . . , v
m
линейно независимы, то процесс за-
вершается на m-м шаге построением m ненулевых попарно ортогональ-
ных векторов, образующих базис подпространства W .
Теперь пункт 1) теоремы получается следующим образом. Пусть W
— рассматриваемое евклидово (или унитарное) пространство, и пусть
v
1
, . . . , v
m
— некоторый базис этого пространства. Тогда применение
описанного только что алгоритма позволяет построить новый базис
u
1
, . . . , u
m
пространства W , состоящий из попарно ортогональных век-
торов. Нормируя векторы этого базиса, получаем ортонормированный
базис.
25
Этим индуктивное построение заканчивается.
   Еще раз напомним, что условием окончания построения является ра-
венство
               ⟨u1 , . . . , uj ⟩ = ⟨v1 , . . . , vj ⟩ = ⟨v1 , . . . , vm ⟩ = W.

В частности, при j < m это означает, что vj+1 ∈ ⟨v1 , . . . , vj ⟩. Если усло-
вие выполнено, а мы, тем не менее, захотим все же построить вектор
uj+1 , то получится вот что. Все предыдущие построения и рассуждения
сохраняются, но оказывается, что вектор uj+1 , выражающийся в ви-
де линейной комбинации v1 , . . . , vj , vj+1 , фактически выражается толь-
ко через v1 , . . . , vj (так как vj+1 есть линейная комбинация v1 , . . . , vj ).
Но каждый из векторов vs , 1 ≤ s ≤ j, по предположению индукции (по
построению) есть линейная комбинация векторов u1 , . . . , uj . Таким об-
разом, и вектор uj+1 будет линейно комбинацией векторов u1 , . . . , uj .
Это означает, что множество векторов u1 , . . . , uj , uj+1 линейно зави-
симо. Вместе с тем, по построению все эти векторы попарно ортого-
нальны. Если допусить, что uj+1 ̸= 0, то мы получим противоречие с
теоремой 2.4.1. Следовательно, uj+1 = 0, и легко убедиться, что и по-
следующие векторы uj+2 , . . . , um также окажутся нулевыми.
   Однако, если векторы v1 , . . . , vm линейно независимы, то процесс за-
вершается на m-м шаге построением m ненулевых попарно ортогональ-
ных векторов, образующих базис подпространства W .
   Теперь пункт 1) теоремы получается следующим образом. Пусть W
— рассматриваемое евклидово (или унитарное) пространство, и пусть
v1 , . . . , vm — некоторый базис этого пространства. Тогда применение
описанного только что алгоритма позволяет построить новый базис
u1 , . . . , um пространства W , состоящий из попарно ортогональных век-
торов. Нормируя векторы этого базиса, получаем ортонормированный
базис.

                                              25

Страницы