Лекции по алгебре. Выпуск III. Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах. Тронин С.Н. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Из этих равенств получаем явный вид коэффициентов α
j+1,s
. Например,
из (u
j+1
, u
s
) = 0, подставляя вместо u
j+1
выражение (2.4.1), получим:
(
v
j+1
+
j
∑
t=1
α
j+1,t
u
t
, u
s
)
= (v
j+1
, v
s
) +
j
∑
t=1
α
j+1,t
(u
t
, u
s
) = 0.
Но по предположению индукции (согласно уже построенному) должны
выполняться равенства (u
t
, u
s
) = 0 при t ̸= s, 1 ≤, t, s ≤ j. Поэтому
предыдущее равенство переписывается в виде:
(v
j+1
, v
s
) + α
j+1,s
(u
s
, u
s
) = 0.
Так как (u
s
, u
s
) > 0, то
α
j+1,s
= −
(v
j+1
, u
s
)
(u
s
, u
s
)
(4.2.3)
Таким образом, однозначно определяется u
j+1
. Обратно, определяя u
j+1
по формуле (4.2.1), где α
j+1,s
задаются формулами (4.2.3) (1 ≤ s ≤ j),
можно легко убедиться, что будут выполнены равенства (4.2.2). Кроме
того, из (4.2.1) следует, что u
j+1
линейно выражается через v
j+1
и че-
рез u
1
, . . . , u
j
. Однако каждое u
s
, по предположению ин дукции, линейно
выражается через v
1
, . . . , v
j
. Таким образом, u
j+1
линейно выражается
через v
1
, . . . , v
j
, v
j+1
. Это означает, что
⟨u
1
, . . . , u
j
, u
j+1
⟩ ⊆ ⟨v
1
, . . . , v
j
, v
j+1
⟩.
С другой стороны, из (4.2.1) следует, что
v
j+1
= u
j+1
− α
j+1,1
u
1
− · · · − α
j+1,j
u
j
.
Так как по предположению индукции (по построению) каждый вектор
v
s
при 1 ≤ s ≤ j есть линейная комбинация векторов u
1
. . . . , u
j
, то
отсюда следует, что
⟨v
1
, . . . , v
j
, v
j+1
⟩ ⊆ ⟨u
1
, . . . , u
j
, u
j+1
⟩.
24
Из этих равенств получаем явный вид коэффициентов αj+1,s . Например,
из (uj+1 , us ) = 0, подставляя вместо uj+1 выражение (2.4.1), получим:
       (                             )
                  ∑ j                                  ∑
                                                       j
          vj+1 +       αj+1,t ut , us = (vj+1 , vs ) +   αj+1,t (ut , us ) = 0.
                  t=1                                            t=1

Но по предположению индукции (согласно уже построенному) должны
выполняться равенства (ut , us ) = 0 при t ̸= s, 1 ≤, t, s ≤ j. Поэтому
предыдущее равенство переписывается в виде:

                             (vj+1 , vs ) + αj+1,s (us , us ) = 0.

Так как (us , us ) > 0, то
                                                    (vj+1 , us )
                                    αj+1,s = −                                   (4.2.3)
                                                     (us , us )
Таким образом, однозначно определяется uj+1 . Обратно, определяя uj+1
по формуле (4.2.1), где αj+1,s задаются формулами (4.2.3) (1 ≤ s ≤ j),
можно легко убедиться, что будут выполнены равенства (4.2.2). Кроме
того, из (4.2.1) следует, что uj+1 линейно выражается через vj+1 и че-
рез u1 , . . . , uj . Однако каждое us , по предположению индукции, линейно
выражается через v1 , . . . , vj . Таким образом, uj+1 линейно выражается
через v1 , . . . , vj , vj+1 . Это означает, что

                        ⟨u1 , . . . , uj , uj+1 ⟩ ⊆ ⟨v1 , . . . , vj , vj+1 ⟩.

С другой стороны, из (4.2.1) следует, что

                    vj+1 = uj+1 − αj+1,1 u1 − · · · − αj+1,j uj .

Так как по предположению индукции (по построению) каждый вектор
vs при 1 ≤ s ≤ j есть линейная комбинация векторов u1 . . . . , uj , то
отсюда следует, что

                        ⟨v1 , . . . , vj , vj+1 ⟩ ⊆ ⟨u1 , . . . , uj , uj+1 ⟩.

                                                 24

Страницы