Лекции по алгебре. Выпуск III. Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах. Тронин С.Н. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Следующий вектор u
2
будем искать в виде
u
2
= v
2
+ α
2,1
u
1
.
Будем исходить из того, что должно выполняться соотношение
(u
2
, u
1
) = 0, то есть u
1
и строящийся вектор u
2
должны оказаться ор-
тогональными. Скаляр α
2,1
неизвестен, но из (u
2
, u
1
) = 0 следует, что
(v
2
, u
1
)+α
2,1
(u
1
, u
1
) = 0, или (v
2
, v
1
)+α
2,1
(v
1
, v
1
) = 0. Так как (v
1
, v
1
) > 0,
то отсюда находим
α
2,1
= −
(v
2
, u
1
)
(u
1
, u
1
)
= −
(v
2
, v
1
)
(v
1
, v
1
)
.
Обратно, если α
2,1
определяется по этой формуле, то (v
2
, u
1
) +
α
2,1
(u
1
, u
1
) = 0, а значит, если u
2
= v
2
+ α
2,1
u
1
, то (u
2
, u
1
) = 0. От-
метим еще следующий важный факт: векторы u
1
и u
2
по построению
линейно выражаются через v
1
и v
2
, а векторы v
1
и v
2
также линейно
выражаются через u
1
и u
2
:
v
1
= u
1
, v
2
= u
2
− α
2,1
u
1
.
Это означает, что ⟨v
1
, v
2
⟩ = ⟨u
1
, u
2
⟩: любую линейную комбинацию v
1
и
v
2
можно представить как линейную комбинацию u
1
и u
2
, и наоборот.
Теперь предположим, что уже найдены попарно ортогональные нену-
левые векторы u
1
, . . . , u
j
, обладающие тем свойством, что ⟨u
1
, . . . u
j
⟩ =
⟨v
1
, . . . , v
j
⟩. Если при этом ⟨v
1
, . . . , v
j
⟩ = ⟨v
1
, . . . , v
m
⟩, то процесс закон-
чен, и линейно независимые векторы u
1
, . . . u
j
образуют базис W . В про-
тивном случае (т.е. когда v
j+1
̸∈ ⟨v
1
, . . . , v
j
⟩) будем искать следующий
вектор u
j+1
в виде:
u
j+1
= v
j+1
+ α
j+1,1
u
1
+ · · · + α
j+1,j
u
j
(4.2.1)
Этот вектор u
j+1
должен быть таким, что
(u
j+1
, u
1
) = (u
j+1
, u
2
) = · · · = (u
j+1
, u
j
) = 0 (4.2.2)
23
   Следующий вектор u2 будем искать в виде

                                   u2 = v2 + α2,1 u1 .

Будем исходить из того, что должно выполняться соотношение
(u2 , u1 ) = 0, то есть u1 и строящийся вектор u2 должны оказаться ор-
тогональными. Скаляр α2,1 неизвестен, но из (u2 , u1 ) = 0 следует, что
(v2 , u1 )+α2,1 (u1 , u1 ) = 0, или (v2 , v1 )+α2,1 (v1 , v1 ) = 0. Так как (v1 , v1 ) > 0,
то отсюда находим
                                       (v2 , u1 )    (v2 , v1 )
                            α2,1 = −              =−            .
                                       (u1 , u1 )    (v1 , v1 )
Обратно, если α2,1 определяется по этой формуле, то (v2 , u1 ) +
α2,1 (u1 , u1 ) = 0, а значит, если u2 = v2 + α2,1 u1 , то (u2 , u1 ) = 0. От-
метим еще следующий важный факт: векторы u1 и u2 по построению
линейно выражаются через v1 и v2 , а векторы v1 и v2 также линейно
выражаются через u1 и u2 :

                             v1 = u1 ,    v2 = u2 − α2,1 u1 .

Это означает, что ⟨v1 , v2 ⟩ = ⟨u1 , u2 ⟩: любую линейную комбинацию v1 и
v2 можно представить как линейную комбинацию u1 и u2 , и наоборот.
   Теперь предположим, что уже найдены попарно ортогональные нену-
левые векторы u1 , . . . , uj , обладающие тем свойством, что ⟨u1 , . . . uj ⟩ =
⟨v1 , . . . , vj ⟩. Если при этом ⟨v1 , . . . , vj ⟩ = ⟨v1 , . . . , vm ⟩, то процесс закон-
чен, и линейно независимые векторы u1 , . . . uj образуют базис W . В про-
тивном случае (т.е. когда vj+1 ̸∈ ⟨v1 , . . . , vj ⟩) будем искать следующий
вектор uj+1 в виде:

                      uj+1 = vj+1 + αj+1,1 u1 + · · · + αj+1,j uj                   (4.2.1)

Этот вектор uj+1 должен быть таким, что

                   (uj+1 , u1 ) = (uj+1 , u2 ) = · · · = (uj+1 , uj ) = 0           (4.2.2)

                                             23

Страницы