Лекции по алгебре. Выпуск III. Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах. Тронин С.Н. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Определение 4.2.3. Пусть V снова евклидово или унитарное про-
странство. Вектор v ∈ V называется нормированным, если ∥v∥ = 1.
Из определения нормы вектора легко следует, что условие нормирован-
ности вектора v равносильно условию (v, v) = 1.
Если v ̸= 0 — произвольный вектор, то вектор
v
∥v∥
будет нормиро-
ванным. В самом деле,
(
v
∥v∥
,
v
∥v∥
)
=
1
∥v∥
(
v,
v
∥v∥
)
=
1
∥v∥
2
(v, v) =
1
(v, v)
(v, v) = 1.
Переход от v к
v
∥v∥
называется нормированием вектора v.
Определение 4.2.4. Множество векторов евклидова или унитарного
пространства называется ортонормированным, если оно ортогональ-
но и, кроме того, каждый его вектор нормирован. Если множество
v
1
, . . . , v
n
ортогонально, состоит из нормированных векторов, и явля-
ется базисом V , то оно называется ортонормированным базисом про-
странства V .
Поскольку равенство ∥v
j
∥ = 1 эквивалентно тому, что (v
j
, v
j
) = 1, то
условие ортонормированности записывается в виде:
(v
j
, v
k
) =
{
1 при j = k;
0 при j ̸= k.
То же самое можно записать короче, с использованием символа Кро-
некера:
(v
j
, v
k
) = δ
j,k
.
Очевидно, что если векторы v и w ортогональны, то для любых не-
нулевых элементов поля α и β ортогональными будут также векторы
αv и βw. Отсюда следует, что если применить процедуру нормирова-
ния к каждому вектору какого-либо ортогонального множества векто-
ров, то получится ортонормированное множество. В частности, после
21
Определение 4.2.3. Пусть V снова евклидово или унитарное про-
странство. Вектор v ∈ V называется нормированным, если ∥v∥ = 1.
Из определения нормы вектора легко следует, что условие нормирован-
ности вектора v равносильно условию (v, v) = 1.

  Если v ̸= 0 — произвольный вектор, то вектор v будет нормиро-
                                                      ∥v∥
ванным. В самом деле,
     (         )        (        )
        v    v       1        v       1               1
           ,     =        v,       =     2 (v, v) =        (v, v) = 1.
       ∥v∥ ∥v∥      ∥v∥      ∥v∥     ∥v∥            (v, v)
  Переход от v к v называется нормированием вектора v.
                 ∥v∥
Определение 4.2.4. Множество векторов евклидова или унитарного
пространства называется ортонормированным, если оно ортогональ-
но и, кроме того, каждый его вектор нормирован. Если множество
v1 , . . . , vn ортогонально, состоит из нормированных векторов, и явля-
ется базисом V , то оно называется ортонормированным базисом про-
странства V .

  Поскольку равенство ∥vj ∥ = 1 эквивалентно тому, что (vj , vj ) = 1, то
условие ортонормированности записывается в виде:
                                    {
                                        1    при j = k;
                     (vj , vk ) =
                                        0    при j ̸= k.
  То же самое можно записать короче, с использованием символа Кро-
некера:
                               (vj , vk ) = δj,k .
  Очевидно, что если векторы v и w ортогональны, то для любых не-
нулевых элементов поля α и β ортогональными будут также векторы
αv и βw. Отсюда следует, что если применить процедуру нормирова-
ния к каждому вектору какого-либо ортогонального множества векто-
ров, то получится ортонормированное множество. В частности, после

                                        21

Страницы