Лекции по алгебре. Выпуск III. Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах. Тронин С.Н. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Но это означает, что (v, v) = 0. Отсюда следует v = 0, а это означает,
что v
m
=
m−1
∑
j=1
λ
j
v
j
, то есть векторы v
1
, . . . , v
m−1
, v
m
линейно зависимы.
Из этой теоремы следует, что матрица Грама для базиса является
невырожденной.
Аналогичную теорему можно доказать для векторов из унитарного
пространства.
Отметим, наконец, что скалярные произведения в евклидовых про-
странствах являются билинейными симметрическими отображениями
(формами). Общая теория таких отображений, а также связанных с ни-
ми квадратичных форм, излагается в других разделах курса алгебры.
Скалярные произведения на унитарных пространствах являются част-
ным случаем отображений более сложного вида (так называемых “полу-
торалинейных” форм). Общая теория таких отображений в начальном
курсе алгебры не изучается.
4.2. Ортогонализация
В этом параграфе мы более подробно изучим множества векторов,
каждые два из которых ортогональны.
Определение 4.2.1. Множество различных ненулевых векторов
{v
1
, . . . , v
m
} евклидова или унтарного пространства называется орто-
гональным, если (v
i
, v
j
) = 0 для любых v
i
и v
j
при i ̸= j.
Геометрический смысл этого понятия — система взаимно перпен-
дикулярных векторов. Оказывается, что это автоматически влечет их
линейную независимость.
19
Но это означает, что (v, v) = 0. Отсюда следует v = 0, а это означает,
          ∑
         m−1
что vm =     λj vj , то есть векторы v1 , . . . , vm−1 , vm линейно зависимы.
           j=1


  Из этой теоремы следует, что матрица Грама для базиса является
невырожденной.
  Аналогичную теорему можно доказать для векторов из унитарного
пространства.

  Отметим, наконец, что скалярные произведения в евклидовых про-
странствах являются билинейными симметрическими отображениями
(формами). Общая теория таких отображений, а также связанных с ни-
ми квадратичных форм, излагается в других разделах курса алгебры.
Скалярные произведения на унитарных пространствах являются част-
ным случаем отображений более сложного вида (так называемых “полу-
торалинейных” форм). Общая теория таких отображений в начальном
курсе алгебры не изучается.



                        4.2. Ортогонализация

  В этом параграфе мы более подробно изучим множества векторов,
каждые два из которых ортогональны.

Определение 4.2.1. Множество           различных     ненулевых     векторов
{v1 , . . . , vm } евклидова или унтарного пространства называется орто-
гональным, если (vi , vj ) = 0 для любых vi и vj при i ̸= j.

  Геометрический смысл этого понятия — система взаимно перпен-
дикулярных векторов. Оказывается, что это автоматически влечет их
линейную независимость.


                                     19

Страницы