Лекции по алгебре. Выпуск III. Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах. Тронин С.Н. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

n
∑
j=1
a
j,k
e
j
, A = (a
j,k
). Тогда
G
′
= A
т
GA
в случае евклидовых пространств, и
G
′
= A
т
GA
в случае унитарных пространств.
Доказательство. Прямое вычисление:
(e
′
j
, e
′
k
) =
(
n
∑
s=1
a
s,j
e
s
,
n
∑
t=1
a
t,k
e
t
)
=
n
∑
s=1
n
∑
t=1
a
s,j
a
t,k
(e
s
, e
t
) =
n
∑
s=1
n
∑
t=1
a
s,j
(e
s
, e
t
)a
t,k
.
Правая часть полученного равенства есть j, k-й элемент матрицы
A
т
GA. Аналогично проводятся вычисления в унитарном случае.
Понятие матрицы Грама можно обобщить на случай произвольного
множества векторов. Для краткости рассмотрим только случай евкли-
дова пространства. Пусть v
1
, . . . , v
m
— произвольный набор векторов
евклидова пространства V определим матрицу Грама этих векторов
G(v
1
, . . . , v
m
) как матрицу размером m × m, j, k-й элемент которой есть
g
j,k
= (v
j
, v
k
). Так как в евклидовом пространстве (v
j
, v
k
) = (v
k
, v
j
), то
матрица Грама в этом случае является симметрической: G(v
1
, . . . , v
m
) =
G(v
1
, . . . , v
m
)
т
.
Теорема 4.1.5. Векторы v
1
, . . . , v
m
линейно независимы тогда и
только тогда, если определитель матрицы Грама этих векторов не
равен нулю.
Доказательство. Докажем логически эквивалентное утвержде-
ние: векторы v
1
, . . . , v
m
линейно зависимы тогда и только тогда, если
определитель матрицы Грама этих векторов равен нулю.
17
∑
n
      aj,k ej , A = (aj,k ). Тогда
j=1

                                         G′ = Aт GA

в случае евклидовых пространств, и

                                         G′ = Aт GA

в случае унитарных пространств.

      Доказательство. Прямое вычисление:
                          (n                    )
                           ∑           ∑
                                       n
           (e′j , e′k ) =    as,j es ,   at,k et =
                           s=1             t=1
                          ∑
                          n ∑
                            n                                 ∑
                                                              n ∑
                                                                n
                                     as,j at,k (es , et ) =             as,j (es , et )at,k .
                          s=1 t=1                             s=1 t=1

Правая часть полученного равенства есть j, k-й элемент матрицы
Aт GA. Аналогично проводятся вычисления в унитарном случае.
      Понятие матрицы Грама можно обобщить на случай произвольного
множества векторов. Для краткости рассмотрим только случай евкли-
дова пространства. Пусть v1 , . . . , vm — произвольный набор векторов
евклидова пространства V определим матрицу Грама этих векторов
G(v1 , . . . , vm ) как матрицу размером m × m, j, k-й элемент которой есть
gj,k = (vj , vk ). Так как в евклидовом пространстве (vj , vk ) = (vk , vj ), то
матрица Грама в этом случае является симметрической: G(v1 , . . . , vm ) =
G(v , . . . , v )т .
      1       m

Теорема 4.1.5. Векторы v1 , . . . , vm линейно независимы тогда и
только тогда, если определитель матрицы Грама этих векторов не
равен нулю.

      Доказательство.            Докажем логически эквивалентное утвержде-
ние: векторы v1 , . . . , vm линейно зависимы тогда и только тогда, если
определитель матрицы Грама этих векторов равен нулю.

                                                 17

Страницы