Лекции по алгебре. Выпуск III. Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах. Тронин С.Н. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

y = (b
1
, . . . , b
n
)
т
, то (4.1.12) можно записать в следующем матричном
виде:
(v, u) = x
т
Gy (4.1.13)
Матрица G называется матрицей Грама данного базиса e
1
, . . . , e
n
, и
обладает рядом интересных свойств. Отметим одно из них: матрица
G является симметрической, G = G
т
. Это следует из того, что g
j,k
=
(e
j
, e
k
) = (e
k
, e
j
) = g
k,j
по определению скалярного произведения.
Аналогичным образом для скалярного произведения в унитарном
пространстве получаем следующие равенства:
(v, u) =
(
n
∑
j=1
a
j
e
j
,
n
∑
k=1
b
k
e
k
)
=
n
∑
j=1
n
∑
k=1
a
j
b
k
(e
j
, e
k
).
Полагая g
j,k
= (e
j
, e
k
), получаем
(v, u) =
n
∑
j=1
n
∑
k=1
g
j,k
a
j
b
k
. (4.1.14)
или
(v, u) = x
т
Gy (4.1.15)
Здесь G есть матрица размером n × n, j, k-й элемент которой есть g
j,k
(матрица Грама), x — столбец координат вектора v, x = (a
1
, . . . , a
n
)
т
,
y — столбец координат u, y = (b
1
, . . . , b
n
)
т
, а через y обозначается
столбец (b
1
, . . . , b
n
)
т
. Матрица Грама G обладает свойством G
т
= G,
где черта сверху означает, что все элементы G заменены на комплексно
сопряженные к ним числа. Это следует из того, что g
j,k
= (e
j
, e
k
) =
(e
k
, e
j
) = g
k,j
для любых индексов j, k.
Теорема 4.1.4. Пусть e
′
1
, . . . , e
′
n
— другой базис евклидова или уни-
тарного пространства V . Рассмотрим матрицу Грама G
′
, соответ-
ствующую этому базису, G
′
= (g
′
j,k
), g
′
j,k
= (e
′
j
, e
′
k
), и пусть зада-
на матрица перехода от базиса e
1
, . . . , e
n
к базису e
′
1
, . . . , e
′
n
: e
′
k
=
16
y = (b1 , . . . , bn )т , то (4.1.12) можно записать в следующем матричном
виде:
                                  (v, u) = xт Gy                       (4.1.13)

Матрица G называется матрицей Грама данного базиса e1 , . . . , en , и
обладает рядом интересных свойств. Отметим одно из них: матрица
G является симметрической, G = Gт . Это следует из того, что g =          j,k

(ej , ek ) = (ek , ej ) = gk,j по определению скалярного произведения.
   Аналогичным образом для скалярного произведения в унитарном
пространстве получаем следующие равенства:
                   ( n                )
                    ∑          ∑
                               n         ∑
                                         n ∑
                                           n
          (v, u) =     aj ej ,   bk ek =     aj bk (ej , ek ).
                       j=1        k=1                j=1 k=1

Полагая gj,k = (ej , ek ), получаем
                                        ∑
                                        n ∑
                                          n
                             (v, u) =             gj,k aj bk .         (4.1.14)
                                        j=1 k=1

или
                                  (v, u) = xт Gy                       (4.1.15)

Здесь G есть матрица размером n × n, j, k-й элемент которой есть gj,k
(матрица Грама), x — столбец координат вектора v, x = (a , . . . , a )т ,
                                                                   1       n

y — столбец координат u, y = (b1 , . . . , bn )т , а через y обозначается
столбец (b , . . . , b )т . Матрица Грама G обладает свойством Gт = G,
           1       n

где черта сверху означает, что все элементы G заменены на комплексно
сопряженные к ним числа. Это следует из того, что gj,k = (ej , ek ) =
(ek , ej ) = g k,j для любых индексов j, k.

Теорема 4.1.4. Пусть e′1 , . . . , e′n — другой базис евклидова или уни-
тарного пространства V . Рассмотрим матрицу Грама G′ , соответ-
ствующую этому базису, G′ = (gj,k
                              ′       ′
                                  ), gj,k = (e′j , e′k ), и пусть зада-
на матрица перехода от базиса e1 , . . . , en к базису e′1 , . . . , e′n : e′k =

                                          16

Страницы