Лекции по алгебре. Выпуск III. Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах. Тронин С.Н. - 14 стр.

  Из неравенства Коши-Буняковского следует, что для любых двух не-
нулевых векторов v и u евклидова пространства выполняется следую-
щее нравенство:

                       (v, u)        (v, u)
                  −1 ≤         =√       √       ≤ 1.      (4.1.6))
                     ∥v∥ · ∥u∥    (v, v) (u, u)
Отсюда следует, что существует угол φ, изменяющийся в пределах от
0 до π, такой, что
                                 (v, u)        (v, u)
                     cos φ =             =√       √          (4.1.7))
                               ∥v∥ · ∥u∥    (v, v) (u, u)
Естествнно назвать этот угол углом между векторами v и u. Таким
образом, как и в случае векторов на плоскости,

                           (v, u) = ∥v∥ ∥u∥ cos φ            (4.1.8))

В унитарном пространстве ситуация несколько меняется. Так как ска-
лярное произведение в этом случае является, вообще говоря, комплекс-
ным числом, то неравенство (4.1.6) теряет смысл, и можно утверждать
лишь, что
                              |(v, u)|
                               0≤       ≤ 1.                (4.1.9))
                             ∥v∥ · ∥u∥
Это значит, что существует однозначно определенный угол φ, 0 ≤ φ ≤
π , такой, что
2
                                   |(v, u)|
                         cos φ =                           (4.1.10))
                                  ∥v∥ · ∥u∥
Теперь можно определить, какие векторы можно считать перпендику-
лярными (или ортогональными): это те векторы, косинус угла между
которыми равен нулю (то есть угол равен π
                                        2 ). Это определение годится
как для евклидовых, так и для унитарных пространств.

Определение 4.1.3. Два ненулевых вектора v и u в евклидовом (или
унитарном) пространстве называются ортогональными, если их ска-
лярное произведение (v, u) равно нулю.

                                       14