Лекции по алгебре. Выпуск III. Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах. Тронин С.Н. - 13 стр.

Но это и есть доказанное в предыдущей теореме неравенство Коши-
Буняковского.
  Неравенство (4.1.5) теперь получается так:

           ∥v − u∥ = ∥v + (−u)∥ ≤ ∥v∥ + ∥ − u∥ = ∥v∥ + ∥u∥,

так как ∥u∥ = ∥ − u∥ по уже доказанному выше.

Следствие 4.1.1. Функция d(v, u) = ∥v − u∥ есть расстояние (мет-
рика) на V , превращающая V в метрическое пространство (или нор-
мированное пространство).

  Доказательство. Проверим свойства метрики (расстояния в мет-
рическом пространстве).
  Первое свойство: d(v, v) = 0 и из d(v, u) = 0 следует, что v = u. При
d(v, u) = ∥v − u∥ все очевидно.
  Второе свойство метрики, d(v, u) = d(u, v) следует из того, что

                   ∥v − u∥ = ∥ − (v − u)∥ = ∥u − v∥.

Наконец, третье свойство (неравенство треугольника):

                       d(v, u) ≤ d(v, w) + d(w, u),

в нашем случае превращается в неравенство:

                     ∥v − u∥ ≤ ∥v − w∥ + ∥w − u∥.

Положим x = v − w, y = w − u, тогда x + y = v − u, и требуемое
неравенство переписывается в виде:

                          ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥.

Но это — доказанное выше неравенство (4.1.4).


                                    13