Лекции по алгебре. Выпуск III. Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах. Тронин С.Н. - 12 стр.

   Доказательство. Ввиду отмеченного выше формального сходства
между определениями евклидова и унитарного пространства достаточ-
но провести рассуждения для унитарного случая, имея в виду то, что в
евклидовом случае a = a для любого действительного a.
                  √
   Свойство ∥v∥ = (v, v) ≥ 0 следует из (v, v) ≥ 0 (определение ска-
лярного произведения), и из соглашения о том, что берется неотрица-
тельное значение корня. Из другой части определения скалярного про-
изведения ((v, v) = 0 тогда и только тогда, если v = 0) следует, что
∥v∥ = 0 тогда и только тогда, если v = 0. Далее,
                       √              √
               ∥λv∥ =    (λv, λv) = λλ(v, v) =
                       √                  √
                         |λ|2 (v, v) = |λ| (v, v) = |λ|∥v∥.
Очевидно, что отсюда следует ∥v∥ = ∥ − v∥.
   Докажем неравенство (4.1.4). Так как и в левой, и в правой его части
стоят неотрицательные величины, то достаточно доказать, что выпол-
няется следующее неравенство:

                           ∥v + u∥2 ≤ (∥v∥ + ∥u∥)2

Распишем подробно левую и правую части этого предполагаемого не-
равенства (напомним, что рассматривается унитарный случай). Левая
часть:
∥v + u∥2 = |(v + u, v + u)| = |(v, v) + (v, u) + (u, v) + (u, u)| ≤
              ≤ |(v, v)| + |(v, u)| + |(v, u)| + |(u, u)| = (v, v) + 2|(v, u)| + (u, u).
Тут использовано неравенство для модулей комплексных чисел: |z1 +
z2 | ≤ |z1 | + |z2 |, и тот факт, что |z| = |z|. Правая часть:

    (∥v∥ + ∥u∥)2 = ∥v|2 + 2∥v∥∥u∥ + ∥u∥2 = (v, v) + 2∥v∥∥u∥ + (u, u).

Сравнивая, легко заметить, что доказываемое неравенство будет уста-
новлено, если будет показано, что

                               |(v, u)| ≤ ∥v∥∥u∥.

                                        12