Лекции по алгебре. Выпуск III. Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах. Тронин С.Н. - 10 стр.

Если это неравенство оказывается равенством, то, прослеживая, откуда
оно получилось, легко обнаруживаем, что многочлен (xv − u, xv − u) =
x2 (v, v)−2x(v, u)+(u, u) в этом случае должен быть полным квадратом.
Но тогда у него есть действительный корень, то есть такой λ ∈ R, что
(λv − u, λv − u) = 0. Однако, по определению скалярного произведения,
это возможно только в том случае, когда λv − u = 0, то есть u = λv.
Обратно, если u = λv для некоторого скаляра λ, то прямая подстановка
в левую и правую части неравенства (4.1.2) показывает, что эти части
равны.
  В случае унитарного пространства рассуждения несколько усложня-
ются. Будем исходить из того, что, по определению скалярного произ-
ведения, в этом случае (xv − u, xv − u) ≥ 0 для любого комплексного x.
Проделаем преобразования:

         (xv − u, xv − u) = (xv, xv) − (xv, u) − (u, xv) + (u, u) =
                              xx(v, v) − x(v, u) − x(u, v) + (u, u) =
                              |x|2 (v, v) − x(v, u) − x (v, u) + (u, u).

Таким образом, имеет место неравенство

                 |x|2 (v, v) − x(v, u) − x (v, u) + (u, u) ≥ 0,            (4.1.3)

справедливое для любого комплексного x. Представим теперь комплекс-
ное число (v, u) в тригонометрической форме:

                      (v, u) = |(v, u)|(cos φ + i sin φ),

и выберем x таким, что

                            x = t(cos φ − i sin φ),

где t — произвольное действительное число. Заметим, что это не три-
гонометрическая форма x, но легко проверить, что |x| = |t|, а значит,

                                      10