Лекции по алгебре. Выпуск III. Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах. Тронин С.Н. - 11 стр.

|x|2 = t2 . Кроме того,

       x(v, u) = t(cos φ − i sin φ)|(v, u)|(cos φ + i sin φ) = t|(v, u)|,
       x (v, u) = t(cos φ + i sin φ)|(v, u)|(cos φ − i sin φ) = t|(v, u)|.

Подставим теперь в (4.1.3) вместо x(v, u) и x (v, u) выражение t|(v, u)|.
Получится неравенство:

                      t2 (v, v) − 2t|(v, u)| + (u, u) ≥ 0.

Теперь мы имеем дело с многочленом at2 + bt + c, где a = (v, v),
b = −2|(v, u)|, c = (u, u) — действительные числа, и этот многочлен
неотрицателен для всех действительных t. Теперь, как и в случае ев-
клидова пространства, делаем вывод, что

                  b2 − 4ac = 4|(v, u)|2 − 4(v, v)(u, u) ≤ 0,

откуда и следует требуемое утверждение.
  Случай, когда неравенство является равенством, разбирается почти
так же, как и выше для евклидовых пространств.
  Теперь можно доказать свойства нормы, которые показывают, что
пространства со скалярным (или эрмитовым) произведением являются
метрическими пространствами.

Теорема 4.1.2. Норма вектора в евклидовом (или унитарном) про-
странстве обладает следующими свойствами. Во-первых, ∥v∥ ≥ 0;
∥v∥ = 0 тогда и только тогда, если v = 0. Во-вторых, ∥λv∥ = |λ|∥v∥.
В частности, ∥v∥ = ∥ − v∥. И, наконец, для любых векторов v и u
выполняется неравенство:

                            ∥v + u∥ ≤ ∥v∥ + ∥u∥                              (4.1.4)

Справедливо также следующее неравенство:

                            ∥v − u∥ ≤ ∥v∥ + ∥u∥                              (4.1.5)

                                       11