Лекции по алгебре. Выпуск III. Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах. Тронин С.Н. - 9 стр.

Теорема 4.1.1. Для любых двух векторов евклидова или унитарного
пространства выполняется неравенство

                           |(v, u)| ≤ ∥v∥ · ∥u∥                  (4.1.1)

Часто его записывают еще в виде

                          |(v, u)|2 ≤ (v, v)(u, u)               (4.1.2)

Равенство имеет место тогда и только тогда, когда векторы v и u
пропорциональны.

  Доказательство. Напомним известный из школьной математи-
ки факт. Пусть дан многочлен f (x) = ax2 + bx + c с действительными
коэффициентами, где переменная x также принимает только действи-
тельные значения. Тогда необходимым и достаточным условием того,
что f (x) ≥ 0 для любого x, является соотношение b2 − 4ac ≤ 0.
  Чтобы применить это утверждение в случае евклидова пространства,
рассмотрим выражение

             (xv − u, xv − u) = x2 (v, v) − 2x(v, u) + (u, u).

По определению евклидова пространства, для любого действительного
числа x будем иметь (xv − u, xv − u) ≥ 0. Но правая часть полученного
выше равенста есть многочлен от x вида ax2 + bx + c, где a = (v, v),
b = −2(v, u), а c = (u, u). Следовательно, условие (xv − u, xv − u) ≥ 0
равносильно тому, что b2 − 4ac ≤ 0. В явном виде это выглядит так:

                       4(v, u)2 − 4(v, v)(u, u) ≤ 0,

что равносильно доказываемому неравенству

                          (v, u)2 ≤ (v, v)(u, u).


                                     9