Лекции по алгебре. Выпуск III. Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах. Тронин С.Н. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Легко проверяется, что все свойства скалярного произведения выполне-
ны. Иногда бывает удобно выражать только что определенное скаляр-
ное произведение через матричное умножение:
(v, u) = v
т
u = (a
1
, . . . , a
n
)
b
1
.
.
.
b
n
Определение 4.1.2. Пусть теперь дано векторное пространство V
над полем комплексных чисел C, и задано отображение
V × V −→ C,
значение которого на векторах v, u ∈ V также обозначается через (v, u).
Это отображение снова называется скалярным произведением , если вы-
полняются следующие свойства:
1. (λ
1
v
1
+λ
2
v
2
, u) = λ
1
(v
1
, u)+λ
2
(v
2
, u) для любых v
1
, v
2
, u ∈ V , λ
1
, λ
2
∈
R;
2. (v, λ
1
u
1
+ λ
2
u
2
) = λ
1
(v, u
1
) + λ
2
(v, u
2
) для любых v, u
1
, u
2
, λ
1
, λ
2
∈ R;
3. (v, u) = (u, v) для каждой пары векторов v, u ∈ V ;
4. (v, v) > 0 для любого v ̸= 0. Из первых двух свойств следует, что
(0, v) = (v, 0) = 0 для каждого вектора v ∈ V .
Здесь черта наверху означает взятие сопряженного к комплексному
числу (a + ib = a − ib).
Векторное пространство V вместе с заданным на нем скалярным
произведением с описанными выше свойствами называется унитарным
пространством (или эрмитовым пространством). Мы будем предпо-
лагать, что все встречающиеся в дальнейшем такие пространства ко-
нечномерны.
7
Легко проверяется, что все свойства скалярного произведения выполне-
ны. Иногда бывает удобно выражать только что определенное скаляр-
ное произведение через матричное умножение:
                                                              
                                                            b1
                                                           . 
                      (v, u) = v т u = (a1 , . . . , an )   . 
                                                           . 
                                                            bn
Определение 4.1.2. Пусть теперь дано векторное пространство V
над полем комплексных чисел C, и задано отображение

                                  V × V −→ C,

значение которого на векторах v, u ∈ V также обозначается через (v, u).
Это отображение снова называется скалярным произведением, если вы-
полняются следующие свойства:

 1. (λ1 v1 +λ2 v2 , u) = λ1 (v1 , u)+λ2 (v2 , u) для любых v1 , v2 , u ∈ V , λ1 , λ2 ∈
    R;

 2. (v, λ1 u1 + λ2 u2 ) = λ1 (v, u1 ) + λ2 (v, u2 ) для любых v, u1 , u2 , λ1 , λ2 ∈ R;

 3. (v, u) = (u, v) для каждой пары векторов v, u ∈ V ;

 4. (v, v) > 0 для любого v ̸= 0. Из первых двух свойств следует, что
    (0, v) = (v, 0) = 0 для каждого вектора v ∈ V .

  Здесь черта наверху означает взятие сопряженного к комплексному
числу (a + ib = a − ib).
  Векторное пространство V вместе с заданным на нем скалярным
произведением с описанными выше свойствами называется унитарным
пространством (или эрмитовым пространством). Мы будем предпо-
лагать, что все встречающиеся в дальнейшем такие пространства ко-
нечномерны.

                                          7

Страницы