Лекции по алгебре. Выпуск III. Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах. Тронин С.Н. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

ГЛАВА IV. ЕВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ
ПРОСТРАНСТВА
4.1. Определения и простейшие свойства
Определение 4.1.1. Пусть дано векторное пространство V над полем
действительных чисел R, и задано отображение
V × V −→ R,
значение которого на векторах v, u ∈ V обозначается через (v, u). Это
отображение называется скалярным произведением, если выполняются
следующие свойства:
1. (λ
1
v
1
+λ
2
v
2
, u) = λ
1
(v
1
, u)+λ
2
(v
2
, u) для любых v
1
, v
2
, u ∈ V , λ
1
, λ
2
∈
R;
2. (v, λ
1
u
1
+ λ
2
u
2
) = λ
1
(v, u
1
) + λ
2
(v, u
2
) для любых v, u
1
, u
2
, λ
1
, λ
2
∈ R;
3. (v, u) = (u, v) для каждой пары векторов v, u ∈ V ;
4. (v, v) > 0 для любого v ̸= 0. Из первых двух свойств следует, что
(0, v) = (v, 0) = 0 для каждого вектора v ∈ V .
Векторное пространство V вместе с заданным на нем скалярным
произведением называется евклидовым пространством. Как правило,
когда говорят об евклидовом пространстве, имеют в виду конечномер-
ное пространство.
Пример 4.1.1. Пусть V = R
n
. Для любых двух векторов v =
(a
1
, . . . , a
n
)
т
, u = (b
1
, . . . , b
n
)
т
из V положим
(v, u) =
n
∑
j=1
a
j
b
j
6
          ГЛАВА IV. ЕВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ
                            ПРОСТРАНСТВА

             4.1. Определения и простейшие свойства

Определение 4.1.1. Пусть дано векторное пространство V над полем
действительных чисел R, и задано отображение

                                  V × V −→ R,

значение которого на векторах v, u ∈ V обозначается через (v, u). Это
отображение называется скалярным произведением, если выполняются
следующие свойства:

 1. (λ1 v1 +λ2 v2 , u) = λ1 (v1 , u)+λ2 (v2 , u) для любых v1 , v2 , u ∈ V , λ1 , λ2 ∈
    R;

 2. (v, λ1 u1 + λ2 u2 ) = λ1 (v, u1 ) + λ2 (v, u2 ) для любых v, u1 , u2 , λ1 , λ2 ∈ R;

 3. (v, u) = (u, v) для каждой пары векторов v, u ∈ V ;

 4. (v, v) > 0 для любого v ̸= 0. Из первых двух свойств следует, что
    (0, v) = (v, 0) = 0 для каждого вектора v ∈ V .

  Векторное пространство V вместе с заданным на нем скалярным
произведением называется евклидовым пространством. Как правило,
когда говорят об евклидовом пространстве, имеют в виду конечномер-
ное пространство.

Пример 4.1.1. Пусть V = Rn . Для любых двух векторов v =
(a1 , . . . , an )т , u = (b1 , . . . , bn )т из V положим
                                            ∑
                                            n
                                 (v, u) =         a j bj
                                            j=1


                                          6

Страницы