Лекции по алгебре. Выпуск III. Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах. Тронин С.Н. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Пример 4.1.2. Пусть V = C
n
. Для любых двух векторов v =
(a
1
, . . . , a
n
)
т
, u = (b
1
, . . . , b
n
)
т
из V положим
(v, u) =
n
∑
j=1
a
j
b
j
Выражение через матричное умножение таково:
(v, u) = v
т
u = (a
1
, . . . , a
n
)
b
1
.
.
.
b
n
Если формально определить сопряжение для действительных чи-
сел, полагая a = a для всех a ∈ R, то определение 4.1.1 становится
полностью аналогичным определению 4.1.2 (однако надо помнить, что
речь идет о разных векторных пространствах, определенных на д разны-
ми полями). Вследствие этого свойства евклидовых и унитарных про-
странств оказываются во многом похожими. Поэтому мы будем изла-
гать их одновременно, внося в случае необходимости соответствующие
поправки в ф ормулировки и доказательства.
Заметим, что в некоторых книгах (например, в учебнике [11]) вместо
обозначения (v, u) используется обозначение (v|u).
И в случае евклидовых пространств, и случае унитарных про-
странств определено понятие нормы вектора v ∈ V :
∥v∥ =
√
(v, v).
Подразумевается, что берется неотрицательное значение корня. В слу-
чае примеров 4.1.1 и 4.1.2, если v = (a
1
, . . . , a
n
)
т
,
∥v∥ =
√
|a
1
|
2
+ · · · + |a
n
|
2
.
Таким образом, геометрический смысл нормы — длина вектора. Уста-
новим основные свойства нормы. Важную роль играет следующее нера-
венство (неравенство Коши-Буняковского, оно же неравенство Шварца).
8
Пример 4.1.2. Пусть V = Cn . Для любых двух векторов v =
(a1 , . . . , an )т , u = (b1 , . . . , bn )т из V положим
                                            ∑
                                            n
                                (v, u) =           a j bj
                                            j=1

Выражение через матричное умножение таково:
                                                                 
                                                       b1
                                                                 
                 (v, u) = v т u = (a1 , . . . , an ) 
                                                      .
                                                        ..        
                                                                  
                                                       bn
   Если формально определить сопряжение для действительных чи-
сел, полагая a = a для всех a ∈ R, то определение 4.1.1 становится
полностью аналогичным определению 4.1.2 (однако надо помнить, что
речь идет о разных векторных пространствах, определенных над разны-
ми полями). Вследствие этого свойства евклидовых и унитарных про-
странств оказываются во многом похожими. Поэтому мы будем изла-
гать их одновременно, внося в случае необходимости соответствующие
поправки в формулировки и доказательства.
   Заметим, что в некоторых книгах (например, в учебнике [11]) вместо
обозначения (v, u) используется обозначение (v|u).
   И в случае евклидовых пространств, и случае унитарных про-
странств определено понятие нормы вектора v ∈ V :
                                √
                          ∥v∥ = (v, v).

Подразумевается, что берется неотрицательное значение корня. В слу-
чае примеров 4.1.1 и 4.1.2, если v = (a , . . . , a )т ,
                                               1            n
                                  √
                          ∥v∥ =       |a1 |2 + · · · + |an |2 .

Таким образом, геометрический смысл нормы — длина вектора. Уста-
новим основные свойства нормы. Важную роль играет следующее нера-
венство (неравенство Коши-Буняковского, оно же неравенство Шварца).

                                           8

Страницы