Лекции по алгебре. Выпуск III. Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах. Тронин С.Н. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Отметим, что если (v, u) = 0, то и (u, v) = 0. В евклидовом слу-
чае это так, поскольку (v, u) = (u, v), а в унитарном (u, v) = (v, u), и
сопряженное к нулю число есть нуль.
Теорема 4.1.3. («Теорема Пифагора») Пусть ненулевые векторы v и
w ортогональны. Тогда
∥v + w∥
2
= ∥v∥
2
+ ∥w∥
2
(4.1.11)
Это равенство также (тривиальным образом) выполняется, если хо-
тя бы один вектор равен нулю.
Доказательство одинаково и для евклидовых, и для унитарных
пространств. Вычислим левую часть (4.1.11):
∥v + u∥
2
= (v + u, v + u) = (v, v) + (v, u) + (u, v) + (u, u).
Но по условию (v, u) = 0 = (u, v), а (v, v) = ∥v∥
2
, (u, u) = ∥u∥
2
. Теорема
доказана.
Теперь выберем в пространсте V некоторый базис e
1
, . . . , e
n
, и пусть
даны векторы v =
n
j=1
a
j
e
j
, u =
n
j=1
b
j
e
j
. Вычислим скалярное произве-
дение (v, u). В случае евклидовых пространств
(v, u) =
n
j=1
a
j
e
j
,
n
k=1
b
k
e
k
=
n
j=1
n
k=1
a
j
b
k
(e
j
, e
k
).
Пусть g
j,k
= (e
j
, e
k
). Тогда полученное равенство перепишется в виде:
(v, u) =
n
j=1
n
k=1
g
j,k
a
j
b
k
. (4.1.12)
Если обозначить через G матрицу размером n×n, j, k-й элемент которой
есть g
j,k
, через x — столбец координат вектора v, т.е. x = (a
1
, . . . , a
n
)
т
,
и, соответственно, через y — столбец координат u в выбранном базисе,
15
  Отметим, что если (v, u) = 0, то и (u, v) = 0. В евклидовом слу-
чае это так, поскольку (v, u) = (u, v), а в унитарном (u, v) = (v, u), и
сопряженное к нулю число есть нуль.

Теорема 4.1.3. («Теорема Пифагора») Пусть ненулевые векторы v и
w ортогональны. Тогда

                            ∥v + w∥2 = ∥v∥2 + ∥w∥2                       (4.1.11)

Это равенство также (тривиальным образом) выполняется, если хо-
тя бы один вектор равен нулю.

  Доказательство одинаково и для евклидовых, и для унитарных
пространств. Вычислим левую часть (4.1.11):

        ∥v + u∥2 = (v + u, v + u) = (v, v) + (v, u) + (u, v) + (u, u).

Но по условию (v, u) = 0 = (u, v), а (v, v) = ∥v∥2 , (u, u) = ∥u∥2 . Теорема
доказана.
  Теперь выберем в пространсте V некоторый базис e1 , . . . , en , и пусть
                 ∑n             ∑
                                n
даны векторы v =    aj ej , u =   bj ej . Вычислим скалярное произве-
                    j=1                j=1
дение (v, u). В случае евклидовых пространств
                     ( n                )
                      ∑          ∑
                                 n         n ∑
                                           ∑ n
            (v, u) =     aj ej ,   bk ek =     aj bk (ej , ek ).
                      j=1        k=1                j=1 k=1

Пусть gj,k = (ej , ek ). Тогда полученное равенство перепишется в виде:
                                       ∑
                                       n ∑
                                         n
                            (v, u) =             gj,k aj bk .            (4.1.12)
                                       j=1 k=1

Если обозначить через G матрицу размером n×n, j, k-й элемент которой
есть g , через x — столбец координат вектора v, т.е. x = (a , . . . , a )т ,
      j,k                                                          1        n

и, соответственно, через y — столбец координат u в выбранном базисе,

                                         15

Страницы