Лекции по алгебре. Выпуск III. Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах. Тронин С.Н. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Пусть векторы линейно зависимы. Тогда один из них, например,
v
m
, можно линейно выразить через остальные: v
m
=
m−1
j=1
λ
j
v
j
. Тог-
да (v
m
, v
k
) =
m−1
j=1
λ
j
(v
j
, v
k
) для всех k = 1, . . . , v
m
. Положим r
j
=
((v
j
, v
1
), (v
j
, v
2
), . . . , (v
j
, v
m
)). Это j-я строка матрицы G(v
1
, . . . , v
m
).
Приведенное выше равенство (v
m
, v
k
) =
m−1
j=1
λ
j
(v
j
, v
k
) можно теперь ин-
терпретировать как r
m
=
m−1
j=1
λ
j
r
j
. Таким образом, m-я строка матрицы
Грама оказывается линейной комбинацией остальных m − 1 строк. Но
тогда, по известному свойству определителей, определитель такой мат-
рицы должен быть равным нулю.
Обратно, пусть определитель матрицы Грама равен нулю. Извстно,
что из этого следует линейная зависимость строк матрицы, что, в свою
очередь, означает, что одна из строк является линейной комбинацией
остальных строк. Допустим, например, что это m-я строка. Таким об-
разом, r
m
=
m−1
j=1
λ
j
r
j
. Отсюда следует, что и для каждого k-го элемента
этой строки выполнено равенство:
(v
m
, v
k
) =
m−1
j=1
λ
j
(v
j
, v
k
) =
m−1
j=1
λ
j
v
j
, v
k
,
что можно переписать в виде
v
m
−
m−1
j=1
λ
j
v
j
, v
k
= 0.
Это равенство справедливо для всех k, k = 1, 2, . . . , m. Положим v =
v
m
−
m−1
j=1
λ
j
v
j
. Если (v, v
k
) = 0 для всех k, то
v, v
m
−
m−1
j=1
λ
j
v
j
= (v, v
m
) −
m−1
j=1
λ
j
(v, v
j
) = 0.
18
   Пусть векторы линейно зависимы. Тогда один из них, например,
                                                  ∑
                                                  m−1
vm , можно линейно выразить через остальные: vm =     λj vj . Тог-
                                                                                           j=1
                     ∑
                     m−1
да (vm , vk ) =            λj (vj , vk ) для всех k = 1, . . . , vm . Положим rj =
                     j=1
((vj , v1 ), (vj , v2 ), . . . , (vj , vm )). Это j-я строка матрицы G(v1 , . . . , vm ).
                                                       ∑
                                                       m−1
Приведенное выше равенство (vm , vk ) =                    λj (vj , vk ) можно теперь ин-
                                                             j=1
                                   ∑
                                   m−1
терпретировать как rm =                    λj rj . Таким образом, m-я строка матрицы
                                    j=1
Грама оказывается линейной комбинацией остальных m − 1 строк. Но
тогда, по известному свойству определителей, определитель такой мат-
рицы должен быть равным нулю.
   Обратно, пусть определитель матрицы Грама равен нулю. Извстно,
что из этого следует линейная зависимость строк матрицы, что, в свою
очередь, означает, что одна из строк является линейной комбинацией
остальных строк. Допустим, например, что это m-я строка. Таким об-
            ∑
            m−1
разом, rm =     λj rj . Отсюда следует, что и для каждого k-го элемента
               j=1
этой строки выполнено равенство:
                                                             (m−1                  )
                                   ∑
                                   m−1                        ∑
                   (vm , vk ) =            λj (vj , vk ) =            λj vj , vk       ,
                                   j=1                          j=1

что можно переписать в виде
                     (                                          )
                                            ∑
                                            m−1
                                   vm −            λj vj , vk       = 0.
                                             j=1

Это равенство справедливо для всех k, k = 1, 2, . . . , m. Положим v =
     ∑
     m−1
vm −     λj vj . Если (v, vk ) = 0 для всех k, то
      j=1
               (                           )
                            ∑
                            m−1                                 ∑
                                                                m−1
                 v, vm −           λj vj       = (v, vm ) −            λj (v, vj ) = 0.
                             j=1                                j=1


                                                   18

Страницы