Лекции по алгебре. Выпуск III. Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах. Тронин С.Н. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Теорема 4.2.1. Пусть v
1
, . . . , v
m
— семейство различных ненулевых
векторов евклидова или унитарного пространства V . Если для каж-
дой пары индексов j ̸= k векторы v
j
и v
k
ортогональны, то множество
v
1
, . . . , v
m
линейно независимо.
Доказательство. Рассмотрим произвольную линейную комбина-
цию данных векторов, равную нулю:
m
∑
j=1
α
j
v
j
= 0.
Выберем любой вектор v
k
, 1 ≤ k ≤ m, и умножим его скалярно справа
на обе части предыдущего равенства, Получим следующее:
(
m
∑
j=1
α
j
v
j
, v
k
)
=
m
∑
j=1
(α
j
v
j
, v
k
) =
m
∑
j=1
α
j
(v
j
, v
k
) = (0, v
k
) = 0.
Но по условию (v
j
, v
k
) = 0 при j ̸= k. Таким образом, от предыдущего
равенства остается только равенство α
k
(v
k
, v
k
) = 0. Но (v
k
, v
k
) > 0 по
определению скалярного произведения. Поэтому α
k
= 0. Так как это
верно для всех k, то тем самым выполнено условие (определение) ли-
нейной независимости для векторов v
1
, . . . , v
m
.
В теории евклидовых и унитарных пространств особое значение име-
ют базисы, являющиеся ортогональными множествами векторов.
Определение 4.2.2. Пусть V — евклидово или унитарное векторное
пространство, и v
1
, . . . , v
n
— некоторый базис этого пространства. Этот
базис называется ортогональным, если он является ортогональным мно-
жеством векторов, то есть любые два различных вектора v
j
и v
k
из этого
базиса ортогональны, (v
j
, v
k
) = 0.
Часто одной ортогональности бывает недостаточно, и ее надо допол-
нить условием нормированности.
20
Теорема 4.2.1. Пусть v1 , . . . , vm — семейство различных ненулевых
векторов евклидова или унитарного пространства V . Если для каж-
дой пары индексов j ̸= k векторы vj и vk ортогональны, то множество
v1 , . . . , vm линейно независимо.

   Доказательство. Рассмотрим произвольную линейную комбина-
цию данных векторов, равную нулю:
                                 ∑
                                 m
                                       αj vj = 0.
                                 j=1

Выберем любой вектор vk , 1 ≤ k ≤ m, и умножим его скалярно справа
на обе части предыдущего равенства, Получим следующее:
      ( m             )
        ∑                ∑
                         m                 ∑
                                           m
            αj vj , vk =   (αj vj , vk ) =   αj (vj , vk ) = (0, vk ) = 0.
         j=1               j=1               j=1

Но по условию (vj , vk ) = 0 при j ̸= k. Таким образом, от предыдущего
равенства остается только равенство αk (vk , vk ) = 0. Но (vk , vk ) > 0 по
определению скалярного произведения. Поэтому αk = 0. Так как это
верно для всех k, то тем самым выполнено условие (определение) ли-
нейной независимости для векторов v1 , . . . , vm .
   В теории евклидовых и унитарных пространств особое значение име-
ют базисы, являющиеся ортогональными множествами векторов.

Определение 4.2.2. Пусть V — евклидово или унитарное векторное
пространство, и v1 , . . . , vn — некоторый базис этого пространства. Этот
базис называется ортогональным, если он является ортогональным мно-
жеством векторов, то есть любые два различных вектора vj и vk из этого
базиса ортогональны, (vj , vk ) = 0.

   Часто одной ортогональности бывает недостаточно, и ее надо допол-
нить условием нормированности.

                                        20

Страницы