Лекции по алгебре. Выпуск III. Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах. Тронин С.Н. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

нормирования каждого вектора ортогонального базиса получится ор-
тонормированный базис (это снова будет ортогональная, а значит —
линейно независимая система векторов, и количество элементов в ней
будет совпадать с размерностью пространства; но гораздо проще непо-
средственно показать, что получается снова базис!).
Теперь возникает вопрос, а существуют ли ортогональные (а значит,
и ортонормированные) базисы. Ответ дает следующая теорема.
Теорема 4.2.2. 1) В каждом евклидовом или унитарном простран-
стве существует ортогональный (а значит, и ортонормирован-
ный) базис.
2) Каждое ортогональное (ортонормированное) множество векто-
ров V можно дополнить до ортогонального (ортонормированно-
го) базиса.
Доказательство. Опишем алгоритм нахождения ортогонально-
го базиса в произвольном подпространстве вида W = ⟨v
1
, . . . , v
m
⟩.
Покажем, что существую векторы u
1
, . . . , u
k
такие, что, во-первых,
⟨u
1
, . . . , u
k
⟩ = ⟨v
1
, . . . , v
m
⟩, а во-вторых, эти векторы попарно ортого-
нальны. В частности, по теореме 4.2.1 они линейно независимы, и поэ-
тому образуют базис подпространства W . Если векторы v
1
, . . . , v
m
ли-
нейно независимы, то это влечет равенство k = m. Если же линейной
независимости нет, то базис все равно получится, но уже при k < m, и
несколько последних шагов алгоритма дадут нулевые векторы, которые
надо будет отбросить.
Построим векторы u
1
, . . . u
k
индуктивно, шаг за шагом. Полагаем
u
1
= v
1
. Условие ортогональности в этом случае тривиально (проверять
нечего), и ⟨v
1
⟩ = ⟨u
1
⟩.
22
нормирования каждого вектора ортогонального базиса получится ор-
тонормированный базис (это снова будет ортогональная, а значит —
линейно независимая система векторов, и количество элементов в ней
будет совпадать с размерностью пространства; но гораздо проще непо-
средственно показать, что получается снова базис!).
   Теперь возникает вопрос, а существуют ли ортогональные (а значит,
и ортонормированные) базисы. Ответ дает следующая теорема.

Теорема 4.2.2.        1) В каждом евклидовом или унитарном простран-
     стве существует ортогональный (а значит, и ортонормирован-
     ный) базис.

 2) Каждое ортогональное (ортонормированное) множество векто-
     ров V можно дополнить до ортогонального (ортонормированно-
     го) базиса.

   Доказательство.          Опишем алгоритм нахождения ортогонально-
го базиса в произвольном подпространстве вида W = ⟨v1 , . . . , vm ⟩.
Покажем, что существую векторы u1 , . . . , uk такие, что, во-первых,
⟨u1 , . . . , uk ⟩ = ⟨v1 , . . . , vm ⟩, а во-вторых, эти векторы попарно ортого-
нальны. В частности, по теореме 4.2.1 они линейно независимы, и поэ-
тому образуют базис подпространства W . Если векторы v1 , . . . , vm ли-
нейно независимы, то это влечет равенство k = m. Если же линейной
независимости нет, то базис все равно получится, но уже при k < m, и
несколько последних шагов алгоритма дадут нулевые векторы, которые
надо будет отбросить.
   Построим векторы u1 , . . . uk индуктивно, шаг за шагом. Полагаем
u1 = v1 . Условие ортогональности в этом случае тривиально (проверять
нечего), и ⟨v1 ⟩ = ⟨u1 ⟩.



                                       22

Страницы