Лекции по алгебре. Выпуск III. Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах. Тронин С.Н. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Теорема доказана.
Полезно сопоставить равенства (4.2.4) и (4.2.5) с примерами 4.1.1 и
4.1.2.
Следствие 4.2.1. В условиях предыдущей теоремы
∥v∥ =
|a
1
|
2
+ · · · + |a
n
|
2
.
Доказательство. Следует из определения нормы и из формул
(4.2.4) и (4.2.5).
Теорема 4.2.4. Пусть e
1
, . . . , e
n
— ортонормированный базис евкли-
дова или унитарного пространства V , v ∈ V , и v =
n
j=1
α
j
e
j
. Таким
образом, для каждого вектора v справедливо равенство:
v =
n
j=1
(v, e
j
)e
j
(4.2.5)
Тогда α
j
= (v, e
j
) для всех j, 1 ≤ j ≤ n. Заметим, что в случае уни-
тарных пространств порядок “множителей” в скалярном произведении
(v, e
j
) поменять нельзя.
Доказательство. Доказательство очень простое. Берем v =
n
k=1
α
k
e
k
, и умножаем скалярно справа на e
j
:
(v, e
j
) =
n
k=1
α
k
e
k
, v
j
=
n
k=1
α
k
(e
k
, e
j
).
Теперь, так как (e
k
, e
j
) = 0 при k ̸= j, а (v
j
, v
j
) = 1, то от правой части
предыдущего равенства остается α
j
(e
j
, e
j
) = α
j
. Поэтому
α
j
= (v, e
j
),
откуда следует равенство (4.2.5).
Отметим, что равенство (4.2.5) называется равенством Парсеваля.
28
Теорема доказана.
    Полезно сопоставить равенства (4.2.4) и (4.2.5) с примерами 4.1.1 и
4.1.2.

Следствие 4.2.1. В условиях предыдущей теоремы
                                     √
                             ∥v∥ =        |a1 |2 + · · · + |an |2 .

    Доказательство.               Следует из определения нормы и из формул
(4.2.4) и (4.2.5).

Теорема 4.2.4. Пусть e1 , . . . , en — ортонормированный базис евкли-
                                                       ∑
                                                       n
дова или унитарного пространства V , v ∈ V , и v =       αj ej . Таким
                                                                                     j=1
образом, для каждого вектора v справедливо равенство:
                                           ∑
                                           n
                                    v=            (v, ej )ej                               (4.2.5)
                                            j=1

    Тогда αj = (v, ej ) для всех j, 1 ≤ j ≤ n. Заметим, что в случае уни-
тарных пространств порядок “множителей” в скалярном произведении
(v, ej ) поменять нельзя.
    Доказательство.               Доказательство очень простое. Берем v =
∑
n
      αk ek , и умножаем скалярно справа на ej :
k=1
                                  ( n                 )
                                   ∑                          ∑
                                                              n
                     (v, ej ) =          αk ek , vj       =         αk (ek , ej ).
                                   k=1                        k=1

Теперь, так как (ek , ej ) = 0 при k ̸= j, а (vj , vj ) = 1, то от правой части
предыдущего равенства остается αj (ej , ej ) = αj . Поэтому

                                         αj = (v, ej ),

откуда следует равенство (4.2.5).
    Отметим, что равенство (4.2.5) называется равенством Парсеваля.

                                               28

Страницы