Лекции по алгебре. Выпуск III. Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах. Тронин С.Н. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Следствие 4.2.2. Если
u =
n
∑
j=1
(u, e
j
)e
j
,
то в случае евклидовых пространств
(v, u) =
n
∑
j=1
(v, e
j
)(u, e
j
),
а в случае унитарных пространств
(v, u) =
n
∑
j=1
(v, e
j
)(u, e
j
) =
n
∑
j=1
(v, e
j
)(e
j
, u).
Отсюда, и в том, и другом случае
∥v∥
2
=
n
∑
j=1
|(e
j
, v)|
2
.
Доказательство. Легко следует из равенства Парсеваля (2.4.5).
4.3. Ортогональное дополнение подпространства
Пусть V — евклидово или унитарное векторное пространство, и
пусть U ⊆ V — подпространство этого пространства. Рассматривая
скалярные произведения векторов из U, нетрудно понять, что и подпро-
странство U также является евклидовым или унитарным.
Пусть V
1
и V
2
— подпространства V . Будем говорить, что эти под-
пространства ортогональны, если (v
1
, v
2
) = 0 для любой пары v
1
∈ V
1
,
v
2
∈ V
2
.
Лемма 4.3.1. Пусть V
1
, . . . , V
m
— различные подпространства ев-
клидова или унитарного векторного пространства V . Допустим, что
29
Следствие 4.2.2. Если
                                      ∑
                                      n
                                u=          (u, ej )ej ,
                                      j=1

то в случае евклидовых пространств
                                      ∑
                                      n
                         (v, u) =           (v, ej )(u, ej ),
                                      j=1

а в случае унитарных пространств
                         ∑
                         n                          ∑
                                                    n
              (v, u) =         (v, ej )(u, ej ) =          (v, ej )(ej , u).
                         j=1                        j=1

Отсюда, и в том, и другом случае
                                       ∑
                                       n
                               ∥v∥ =
                                  2
                                              |(ej , v)|2 .
                                       j=1

   Доказательство. Легко следует из равенства Парсеваля (2.4.5).




        4.3. Ортогональное дополнение подпространства

   Пусть V — евклидово или унитарное векторное пространство, и
пусть U ⊆ V — подпространство этого пространства. Рассматривая
скалярные произведения векторов из U , нетрудно понять, что и подпро-
странство U также является евклидовым или унитарным.
   Пусть V1 и V2 — подпространства V . Будем говорить, что эти под-
пространства ортогональны, если (v1 , v2 ) = 0 для любой пары v1 ∈ V1 ,
v2 ∈ V2 .

Лемма 4.3.1. Пусть V1 , . . . , Vm — различные подпространства ев-
клидова или унитарного векторного пространства V . Допустим, что

                                         29

Страницы