Лекции по алгебре. Выпуск III. Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах. Тронин С.Н. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

каждые два подпространства V
j
и V
k
при j ̸= k являются ортогональ-
ными. Тогда сумма подпространств V
1
+ · · · + V
m
является прямой
суммой.
Доказательство. Напомним, что сумма векторных подпро-
странств
V
1
+ · · · + V
m
= {v
1
+ · · · + v
m
|v
1
∈ V
1
, . . . , v
m
∈ V
m
}
называется прямой суммой, если из того, что v
1
+ · · · + v
m
= v
′
1
+ · · · +
v
′
m
следует v
1
= v
′
1
, . . . , v
m
= v
′
m
. Это еще равносильно тому, что из
v
1
+ · · · + v
m
= 0 следует, что v
1
= · · · = v
m
= 0. Именно эту форму
определения удобно проверить в данном случае.
Итак, пусть v
1
+ · · · + v
m
= 0. Для каждого j, 1 ≤ j ≤ m, будем умно-
жеть скалярно левую и правую части этого равенства на v
j
. Получится
следующее:
(v
1
+ · · · + v
m
, v
j
) = (v
1
, v
j
) + · · · + (v
j
, v
j
) + · · · + (v
m
, v
j
) = (0, v
j
) = 0.
Но (v
k
, v
j
) = 0 для всех k ̸= j, согласно условию ортогональности под-
пространств. Таким образом, остается равенство (v
j
, v
j
) = 0. Однако
при v
j
̸= 0 должно быть (v
j
, v
j
) > 0. Таким образом, v
j
= 0, что и
требовалось доказать.
Отметим, что если V
1
и V
2
— два ортогональных подпространства,
то V
1
∩ V
2
= {0}. Это следует из леммы 4.3.1 и из известного свойства
прямой суммы, но можно дать короткое прямое доказательсво. А имен-
но, если v ∈ V
1
∩ V
2
, то из ортогональности V
1
и V
2
следует, что вектор
v должен быть ортогональным к самому себе, то есть (v, v) = 0. Но по
свойству скалярного произведения отсюда следует, что v = 0.
Определение 4.3.1. Пусть U есть подпространство евклидова или
унитарного векторного пространства V . Рассмотрим множество:
U
⊥
= {w ∈ V |(u, w) = 0 для каждого u ∈ U}.
30
каждые два подпространства Vj и Vk при j ̸= k являются ортогональ-
ными. Тогда сумма подпространств V1 + · · · + Vm является прямой
суммой.
   Доказательство.                Напомним, что сумма векторных подпро-
странств

             V1 + · · · + Vm = {v1 + · · · + vm |v1 ∈ V1 , . . . , vm ∈ Vm }

называется прямой суммой, если из того, что v1 + · · · + vm = v1′ + · · · +
 ′
vm следует v1 = v1′ , . . . , vm = vm
                                    ′
                                      . Это еще равносильно тому, что из
v1 + · · · + vm = 0 следует, что v1 = · · · = vm = 0. Именно эту форму
определения удобно проверить в данном случае.
   Итак, пусть v1 + · · · + vm = 0. Для каждого j, 1 ≤ j ≤ m, будем умно-
жеть скалярно левую и правую части этого равенства на vj . Получится
следующее:

 (v1 + · · · + vm , vj ) = (v1 , vj ) + · · · + (vj , vj ) + · · · + (vm , vj ) = (0, vj ) = 0.

Но (vk , vj ) = 0 для всех k ̸= j, согласно условию ортогональности под-
пространств. Таким образом, остается равенство (vj , vj ) = 0. Однако
при vj ̸= 0 должно быть (vj , vj ) > 0. Таким образом, vj = 0, что и
требовалось доказать.
   Отметим, что если V1 и V2 — два ортогональных подпространства,
то V1 ∩ V2 = {0}. Это следует из леммы 4.3.1 и из известного свойства
прямой суммы, но можно дать короткое прямое доказательсво. А имен-
но, если v ∈ V1 ∩ V2 , то из ортогональности V1 и V2 следует, что вектор
v должен быть ортогональным к самому себе, то есть (v, v) = 0. Но по
свойству скалярного произведения отсюда следует, что v = 0.
Определение 4.3.1. Пусть U есть подпространство евклидова или
унитарного векторного пространства V . Рассмотрим множество:

                U ⊥ = {w ∈ V |(u, w) = 0 для каждого u ∈ U }.

                                              30

Страницы