Лекции по алгебре. Выпуск III. Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах. Тронин С.Н. - 32 стр.

  Заметим прежде всего, что U ′ ⊆ U ⊥ . В самом деле, любой элемент
                                ∑m
u ∈ U записывается в виде u =      αj uj , а любой u′ ∈ U ′ — в виде
                                                  j=1
        ∑
        n
u′ =           βk uk . Вычисляя (u, u′ ), получим:
       k=m+1
                ( m                               )
                 ∑                 ∑
                                   n                      ∑
                                                          m ∑
                                                            n
                        αj uj ,           βk uk       =               αj β k (uj , uk ).
                  j=1             k=m+1                   j=1 k=m+1

В евклидовом случае, разумеется, β k = βk . Но так как базисные век-
торы ортогональны, то при 1 ≤ j ≤ m и m + 1 ≤ k ≤ n всегда бу-
дет (uj , uk ) = 0. Это означает, что (u, u′ ) = 0 для каждого u ∈ U , и
по определению 4.3.1 получаем u′ ∈ U ⊥ . Теперь мы находимся в сле-
дующей ситуации: V = U ⊕ U ′ и U ′ ⊂ U ⊥ . Каждый вектор v ∈ V
представляется в виде v = u + u′ , где u ∈ U , u′ ∈ U ′ . Но вектор u′
принадлежит также подпространству U ⊥ . Таким образом, v = u + u′ ,
где u ∈ U , u′ ∈ U ⊥ . Это означает, что V = U + U ⊥ . Но по самому
определению U ⊥ , подпространства U и U ⊥ ортогональны. Теперь из
леммы 4.3.1 следует, что сумма U + U ⊥ является прямой суммой. Фак-
тически это уже доказывает теорему, так как только что было пока-
зано, что V = U + U ⊥ . Тем не менее, докажем и равенство U ′ = U ⊥ .
Из прямой суммы V = U ⊕ U ′ , вычисляя размерности левой и пра-
вой частей, получаем dim(V ) = dim(U ) + dim(U ′ ). А из прямой суммы
V = U ⊕ U ⊥ , вычисляя размерности левой и правой частей, получаем
dim(V ) = dim(U )+dim(U ⊥ ). Сравнивая, видим, что dim(U ′ ) = dim(U ⊥ ).
Но так как U ′ ⊆ U ⊥ , то отсюда следует U ′ = U ⊥ .

Следствие 4.3.1. (U ⊥ )⊥ = U .

  Доказательство. Это можно установить примерно тем же спо-
собом, которым была доказана предыдущая теорема. Во-первых, из
определения 4.3.1 следует, что U ⊆ (U ⊥ )⊥ . Далее, по теореме 4.3.1

                                                  32