Лекции по алгебре. Выпуск III. Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах. Тронин С.Н. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

V = U
⊥
⊕ (U
⊥
)
⊥
и V = U ⊕ U
⊥
. Порядок слагаемых в прямых суммах
не играет никакой роли. Сравнивая размерности, получаем dim(U) =
dim((U
⊥
)
⊥
). Теперь из U ⊆ (U
⊥
)
⊥
следует, что U = (U
⊥
)
⊥
.
4.4. Расстояние от точки до подпространства
В евклидовых и унитарных пространствах, где определены рассотя-
ния между векторами, можно придать смысли понятию расстояния от
вектора до векторного подпространства.
Сначала разберемся в одной общей ситуации. Пусть векторное про-
странство V над произвольным полем представлено в виде прямой сум-
мы подпространств: V = V
1
⊕V
2
. Тогда по определению прямой сумммы
каждый вектор v ∈ V можно единственным способом записать в виде
v = v
1
+ v
2
, где v
1
∈ V
1
, v
2
∈ V
2
. Таким образом, можно сопоставить
вектору v однозначно определяемые по v векторы v
1
∈ V
1
и v
2
∈ V
2
. Это
означает, что определены два отображения,
π
1
: V −→ V
1
, π
1
(v) = v
1
,
π
2
: V −→ V
2
, π
1
(v) = v
2
.
Эти отображения называются проекциями векторного пространства
V на прямые слагаемые V
1
и V
2
.
Лемма 4.4.1. Проекции на прямые слагаемые являются линейными
отображениями.
Доказательство. Главную роль играет свойство однозначности
слагаемых в записи v = v
1
+ v
2
, v
1
∈ V
1
, v
2
∈ V
2
. Если v = α
′
v
′
+
α
′′
v
′′
, где α
′
, α
′′
— элементы поля, а v
′
и v
′′
— векторы, то каждый
из этих векторов также представляется в виде суммы соответственно
разложению V = V
1
⊕ V
2
:
v
′
= v
′
1
+ v
′
2
, v
′′
= v
′′
1
+ v
′′
2
, v
′
1
, v
′′
1
∈ V
1
, v
′
2
, v
′′
2
∈ V
2
.
33
V = U ⊥ ⊕ (U ⊥ )⊥ и V = U ⊕ U ⊥ . Порядок слагаемых в прямых суммах
не играет никакой роли. Сравнивая размерности, получаем dim(U ) =
dim((U ⊥ )⊥ ). Теперь из U ⊆ (U ⊥ )⊥ следует, что U = (U ⊥ )⊥ .



         4.4. Расстояние от точки до подпространства

  В евклидовых и унитарных пространствах, где определены рассотя-
ния между векторами, можно придать смысли понятию расстояния от
вектора до векторного подпространства.
  Сначала разберемся в одной общей ситуации. Пусть векторное про-
странство V над произвольным полем представлено в виде прямой сум-
мы подпространств: V = V1 ⊕V2 . Тогда по определению прямой сумммы
каждый вектор v ∈ V можно единственным способом записать в виде
v = v1 + v2 , где v1 ∈ V1 , v2 ∈ V2 . Таким образом, можно сопоставить
вектору v однозначно определяемые по v векторы v1 ∈ V1 и v2 ∈ V2 . Это
означает, что определены два отображения,
                            π1 : V −→ V1 ,           π1 (v) = v1 ,
                            π2 : V −→ V2 ,           π1 (v) = v2 .
  Эти отображения называются проекциями векторного пространства
V на прямые слагаемые V1 и V2 .
Лемма 4.4.1. Проекции на прямые слагаемые являются линейными
отображениями.
  Доказательство. Главную роль играет свойство однозначности
слагаемых в записи v = v1 + v2 , v1 ∈ V1 , v2 ∈ V2 . Если v = α′ v ′ +
α′′ v ′′ , где α′ , α′′ — элементы поля, а v ′ и v ′′ — векторы, то каждый
из этих векторов также представляется в виде суммы соответственно
разложению V = V1 ⊕ V2 :

        v ′ = v1′ + v2′ ,    v ′′ = v1′′ + v2′′ ,    v1′ , v1′′ ∈ V1 ,   v2′ , v2′′ ∈ V2 .

                                                33

Страницы