Лекции по алгебре. Выпуск III. Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах. Тронин С.Н. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Так как (ввиду w ∈ U
⊥
) (u − u
′
, w) = (w , u − u
′
) = 0, то получается
равенство
∥w
′
∥
2
= (w , w) + (u − u
′
, u − u
′
) = ∥w∥
2
+ ∥u − u
′
∥
2
.
Но так как ∥u − u
′
∥
2
≥ 0, то ∥w
′
∥
2
≥ ∥w∥
2
. А так как нормы неотрица-
тельны, то это значит, что и ∥w
′
∥ ≥ ∥w∥. Из ∥w
′
∥
2
= ∥w∥
2
+ ∥u − u
′
∥
2
также следует, что равенство ∥w
′
∥ = ∥w∥ возможно в том и только в
том случае, если ∥u−u
′
∥ = 0, то есть u = u
′
. Но тогда из w
′
= w+(u−u
′
)
делаем вывод, что равенство норм возможно только при w = w
′
.
Теперь опишем алгоритм практического вычисления расстояния от
вектора до подпространства. Пусть подпространство U задано семей-
ством образующих (например, базисом): U = ⟨u
1
, . . . , u
m
⟩. Векторы
u
1
, . . . , u
m
не обязательно линейно независимы, и не обязательно орто-
гональны. Проекция заданного вектора v на U представляется в виде:
u =
m
∑
j=1
x
j
u
j
,
где коэффициенты x
j
пока неизвестны (однако они существуют, так как
существует вектор v и его проекция u). Так как u
j
∈ U и w ∈ U
⊥
, то
(w, u
j
) = 0 для каждого индекса j. Равенство
v = u + w
умножаем справа скалярно на u
j
, j = 1, 2, . . . , m, и получаем соотноше-
ния:
(v, u
j
) = (u, u
j
) + (w, u
j
) = (u, u
j
).
Вычисляем (u, u
j
):
(u, u
j
) =
(
m
∑
k=1
x
k
u
k
, u
j
)
=
m
∑
k=1
x
k
(u
k
, u
j
).
35
Так как (ввиду w ∈ U ⊥ ) (u − u′ , w) = (w, u − u′ ) = 0, то получается
равенство

            ∥w′ ∥2 = (w, w) + (u − u′ , u − u′ ) = ∥w∥2 + ∥u − u′ ∥2 .

Но так как ∥u − u′ ∥2 ≥ 0, то ∥w′ ∥2 ≥ ∥w∥2 . А так как нормы неотрица-
тельны, то это значит, что и ∥w′ ∥ ≥ ∥w∥. Из ∥w′ ∥2 = ∥w∥2 + ∥u − u′ ∥2
также следует, что равенство ∥w′ ∥ = ∥w∥ возможно в том и только в
том случае, если ∥u−u′ ∥ = 0, то есть u = u′ . Но тогда из w′ = w+(u−u′ )
делаем вывод, что равенство норм возможно только при w = w′ .
  Теперь опишем алгоритм практического вычисления расстояния от
вектора до подпространства. Пусть подпространство U задано семей-
ством образующих (например, базисом): U = ⟨u1 , . . . , um ⟩. Векторы
u1 , . . . , um не обязательно линейно независимы, и не обязательно орто-
гональны. Проекция заданного вектора v на U представляется в виде:
                                          ∑
                                          m
                                     u=           xj uj ,
                                          j=1

где коэффициенты xj пока неизвестны (однако они существуют, так как
существует вектор v и его проекция u). Так как uj ∈ U и w ∈ U ⊥ , то
(w, uj ) = 0 для каждого индекса j. Равенство

                                      v =u+w

умножаем справа скалярно на uj , j = 1, 2, . . . , m, и получаем соотноше-
ния:
                      (v, uj ) = (u, uj ) + (w, uj ) = (u, uj ).

Вычисляем (u, uj ):
                              ( m                 )
                               ∑                            ∑
                                                            m
                 (u, uj ) =          xk uk , uj       =           xk (uk , uj ).
                               k=1                          k=1


                                           35

Страницы