Лекции по алгебре. Выпуск III. Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах. Тронин С.Н. - 36 стр.

UptoLike

Составители: 

Таким образом, для нахождения x
1
, . . . , x
m
получается система из m
линейных уравнений с m неизвестными:
(u
1
, u
1
)x
1
+ (u
2
, u
1
)x
2
+ · · · +(u
m
, u
1
)x
m
= (v, u
1
)
(u
1
, u
2
)x
1
+ (u
2
, u
2
)x
2
+ · · · +(u
m
, u
2
)x
m
= (v, u
2
)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(u
1
, u
m
)x
1
+ (u
2
, u
m
)x
2
+ · · · +(u
m
, u
m
)x
m
= (v, u
m
)
Как уже было отмечено, эта система имеет решение. Матрица этой сис-
темы есть матрица Грама векторов u
1
, . . . , u
m
. Если векторы u
1
, . . . , u
m
линейно независимы, то по теореме 4.1.5 эта матрица невырожденна,
так что решение единственно. Впрочем, единственность решения в этом
случае следует просто из того, что векторы u
1
, . . . , u
m
будут базисом
U, и поэтому вектор u записывается в виде их линейной комбинации
единственным способом.
Решаем систему, находим x
1
, . . . , x
m
, и тем самым находим явный
вид u =
m
j=1
x
j
u
j
. Затем из v = u + w находим w = v u. Остается
вычислить искомое расстояние w.
4.5. Изоморфизмы евклидовых и унтарных пространств
Теорема 4.5.1. Пусть V и W два евклидовых (или унитарных) про-
странства, имеющие одинаковую размерность. Тогда существует
изоморфизм φ : V W такой, что для любых двух векторов v, u V
справедливо равенство:
(v, u) = (φ(v), φ(u)).
Доказательство. Все, что нам необходимо знать об евклидовых
или унитарных пространствах это то, что в них существуют ор-
тонормированные базисы. Выберем какой-нибудь ортонормированный
36
Таким образом, для нахождения x1 , . . . , xm получается система из m
линейных уравнений с m неизвестными:
      
      
        (u1 , u1 )x1 + (u2 , u1 )x2 + · · · +(um , u1 )xm   = (v, u1 )
      
      
      
       (u , u )x + (u , u )x + · · · +(u , u )x
            1 2 1          2 2 2                m 2 m        = (v, u2 )
      
             ... ...        ... ... ...         ... ...     ...
      
      
      
       (u , u )x + (u , u )x + · · · +(u , u )x
           1 m 1          2 m 2                 m m m        = (v, um )
Как уже было отмечено, эта система имеет решение. Матрица этой сис-
темы есть матрица Грама векторов u1 , . . . , um . Если векторы u1 , . . . , um
линейно независимы, то по теореме 4.1.5 эта матрица невырожденна,
так что решение единственно. Впрочем, единственность решения в этом
случае следует просто из того, что векторы u1 , . . . , um будут базисом
U , и поэтому вектор u записывается в виде их линейной комбинации
единственным способом.
  Решаем систему, находим x1 , . . . , xm , и тем самым находим явный
        ∑
        m
вид u =   xj uj . Затем из v = u + w находим w = v − u. Остается
          j=1
вычислить искомое расстояние ∥w∥.



   4.5. Изоморфизмы евклидовых и унтарных пространств

Теорема 4.5.1. Пусть V и W два евклидовых (или унитарных) про-
странства, имеющие одинаковую размерность. Тогда существует
изоморфизм φ : V → W такой, что для любых двух векторов v, u ∈ V
справедливо равенство:

                            (v, u) = (φ(v), φ(u)).

   Доказательство. Все, что нам необходимо знать об евклидовых
или унитарных пространствах — это то, что в них существуют ор-
тонормированные базисы. Выберем какой-нибудь ортонормированный

                                      36