ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Таким образом, для нахождения x
1
, . . . , x
m
получается система из m
линейных уравнений с m неизвестными:
(u
1
, u
1
)x
1
+ (u
2
, u
1
)x
2
+ · · · +(u
m
, u
1
)x
m
= (v, u
1
)
(u
1
, u
2
)x
1
+ (u
2
, u
2
)x
2
+ · · · +(u
m
, u
2
)x
m
= (v, u
2
)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(u
1
, u
m
)x
1
+ (u
2
, u
m
)x
2
+ · · · +(u
m
, u
m
)x
m
= (v, u
m
)
Как уже было отмечено, эта система имеет решение. Матрица этой сис-
темы есть матрица Грама векторов u
1
, . . . , u
m
. Если векторы u
1
, . . . , u
m
линейно независимы, то по теореме 4.1.5 эта матрица невырожденна,
так что решение единственно. Впрочем, единственность решения в этом
случае следует просто из того, что векторы u
1
, . . . , u
m
будут базисом
U, и поэтому вектор u записывается в виде их линейной комбинации
единственным способом.
Решаем систему, находим x
1
, . . . , x
m
, и тем самым находим явный
вид u =
m
∑
j=1
x
j
u
j
. Затем из v = u + w находим w = v − u. Остается
вычислить искомое расстояние ∥w∥.
4.5. Изоморфизмы евклидовых и унтарных пространств
Теорема 4.5.1. Пусть V и W два евклидовых (или унитарных) про-
странства, имеющие одинаковую размерность. Тогда существует
изоморфизм φ : V → W такой, что для любых двух векторов v, u ∈ V
справедливо равенство:
(v, u) = (φ(v), φ(u)).
Доказательство. Все, что нам необходимо знать об евклидовых
или унитарных пространствах — это то, что в них существуют ор-
тонормированные базисы. Выберем какой-нибудь ортонормированный
36
Таким образом, для нахождения x1 , . . . , xm получается система из m линейных уравнений с m неизвестными: (u1 , u1 )x1 + (u2 , u1 )x2 + · · · +(um , u1 )xm = (v, u1 ) (u , u )x + (u , u )x + · · · +(u , u )x 1 2 1 2 2 2 m 2 m = (v, u2 ) ... ... ... ... ... ... ... ... (u , u )x + (u , u )x + · · · +(u , u )x 1 m 1 2 m 2 m m m = (v, um ) Как уже было отмечено, эта система имеет решение. Матрица этой сис- темы есть матрица Грама векторов u1 , . . . , um . Если векторы u1 , . . . , um линейно независимы, то по теореме 4.1.5 эта матрица невырожденна, так что решение единственно. Впрочем, единственность решения в этом случае следует просто из того, что векторы u1 , . . . , um будут базисом U , и поэтому вектор u записывается в виде их линейной комбинации единственным способом. Решаем систему, находим x1 , . . . , xm , и тем самым находим явный ∑ m вид u = xj uj . Затем из v = u + w находим w = v − u. Остается j=1 вычислить искомое расстояние ∥w∥. 4.5. Изоморфизмы евклидовых и унтарных пространств Теорема 4.5.1. Пусть V и W два евклидовых (или унитарных) про- странства, имеющие одинаковую размерность. Тогда существует изоморфизм φ : V → W такой, что для любых двух векторов v, u ∈ V справедливо равенство: (v, u) = (φ(v), φ(u)). Доказательство. Все, что нам необходимо знать об евклидовых или унитарных пространствах — это то, что в них существуют ор- тонормированные базисы. Выберем какой-нибудь ортонормированный 36
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- …
- следующая ›
- последняя »