Лекции по алгебре. Выпуск III. Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах. Тронин С.Н. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

базис v
1
, . . . , v
n
в пространстве V , и произвольный ортонормированный
базис w
1
, . . . , w
n
в пространстве W . Уже известно, что существует од-
нозначным образом определяемое линейное отображение φ : V → W ,
переволящее элементы базиса v
j
в элементы другого базиса w
j
для всех
j (то есть φ(v
j
) = w
j
для всех j), и это отображение является изомор-
физмом векторных пространств. Если v =
n
∑
j=1
α
j
v
j
— некоторый вектор
из V , то φ(v) =
n
∑
j=1
α
j
w
j
. Покажем, что изоморфизм φ обладает требу-
емым свойством.
В самом деле, пусть v =
n
∑
j=1
α
j
v
j
, u =
n
∑
k=1
β
k
v
k
. Тогда
(v, u) = (
n
∑
j=1
α
j
v
j
,
n
∑
k=1
β
k
v
k
) =
n
∑
j=1
n
∑
k=1
α
j
β
k
(v
j
, v
k
) =
n
∑
j=1
n
∑
k=1
α
j
β
k
δ
j,k
=
n
∑
j=1
α
j
β
j
в случае евклидовых пространств, и
(v, u) = (
n
∑
j=1
α
j
v
j
,
n
∑
k=1
β
k
v
k
) =
n
∑
j=1
n
∑
k=1
α
j
β
k
(v
j
, v
k
) =
n
∑
j=1
n
∑
k=1
α
j
β
k
δ
j,k
=
n
∑
j=1
α
j
β
j
в случае унитарных пространств. Черта сверху означает, как обычно,
комплексное сопряжение. Вычисляя точно также (φ(v), φ(u)), получим
(φ(v), φ(u)) = (
n
∑
j=1
α
j
w
j
,
n
∑
k=1
β
k
w
k
) =
n
∑
j=1
n
∑
k=1
α
j
β
k
(w
j
, w
k
) =
n
∑
j=1
n
∑
k=1
α
j
β
k
δ
j,k
=
n
∑
j=1
α
j
β
j
в случае евклидовых пространств, и
(φ(v), φ(u)) = (
n
∑
j=1
α
j
w
j
,
n
∑
k=1
β
k
w
k
) =
n
∑
j=1
n
∑
k=1
α
j
β
k
(w
j
, w
k
) =
n
∑
j=1
n
∑
k=1
α
j
β
k
δ
j,k
=
n
∑
j=1
α
j
β
j
37
базис v1 , . . . , vn в пространстве V , и произвольный ортонормированный
базис w1 , . . . , wn в пространстве W . Уже известно, что существует од-
нозначным образом определяемое линейное отображение φ : V → W ,
переволящее элементы базиса vj в элементы другого базиса wj для всех
j (то есть φ(vj ) = wj для всех j), и это отображение является изомор-
                                            ∑
                                            n
физмом векторных пространств. Если v =         αj vj — некоторый вектор
                                                                 j=1
                   ∑
                   n
из V , то φ(v) =         αj wj . Покажем, что изоморфизм φ обладает требу-
                   j=1
емым свойством.
                                     ∑
                                     n                        ∑
                                                              n
  В самом деле, пусть v =                  αj vj , u =              βk vk . Тогда
                                     j=1                      k=1

                          ∑
                          n             ∑
                                        n                     ∑
                                                              n ∑
                                                                n
          (v, u) = (          αj vj ,         βk vk ) =                   αj βk (vj , vk ) =
                         j=1            k=1                   j=1 k=1
                         ∑
                         n ∑ n                          ∑
                                                        n
                                   αj βk δj,k =               αj βj
                         j=1 k=1                        j=1
в случае евклидовых пространств, и
                          ∑
                          n             ∑
                                        n                     ∑
                                                              n ∑
                                                                n
          (v, u) = (          αj vj ,         βk vk ) =                   αj β k (vj , vk ) =
                         j=1            k=1                   j=1 k=1
                         ∑
                         n ∑ n                          ∑
                                                        n
                                   αj β k δj,k =              αj β j
                         j=1 k=1                        j=1

в случае унитарных пространств. Черта сверху означает, как обычно,
комплексное сопряжение. Вычисляя точно также (φ(v), φ(u)), получим
                            ∑
                            n                 ∑
                                              n                     n ∑
                                                                    ∑ n
      (φ(v), φ(u)) = (             αj wj ,         βk wk ) =                  αj βk (wj , wk ) =
                           j=1               k=1                    j=1 k=1
                           ∑
                           n ∑ n                          ∑
                                                          n
                                        αj βk δj,k =            αj βj
                           j=1 k=1                        j=1

в случае евклидовых пространств, и
                            ∑
                            n                 ∑
                                              n                     ∑
                                                                    n ∑
                                                                      n
      (φ(v), φ(u)) = (         αj wj ,             βk wk ) =                  αj β k (wj , wk ) =
                           j=1         k=1                        j=1 k=1
                           ∑
                           n ∑ n                          ∑
                                                          n
                                        αj β k δj,k =            αj β j
                           j=1 k=1                        j=1



                                                   37

Страницы