Лекции по алгебре. Выпуск III. Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах. Тронин С.Н. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

ГЛАВА V. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
В ЕВКЛИДОВЫХ И УНИТАРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
5.1. Ортогональные и унитарные операторы
Теорема 5.1.1. Пусть V — евклидово (унитарное) пространство,
A : V → V — линейный оператор. Эквивалентны следующин утверж-
дения:
1) Оператор A отображает некоторый ортонормированный базис
e
1
, . . . , e
n
в ортонормированный базис Ae
1
, . . . , Ae
n
;
2) Для любых двух векторов v, w ∈ V имеет место равенство
(Av, Aw) = (v, w);
3) Для любого вектора v ∈ V имеет место равенство (Av, Av) =
(v, v);
4) Оператор A отображает любой ортонормированный базис про-
странства V в ортонормированный базис.
Доказательство. 1) =⇒ 2). Пусть v =
n
∑
j=1
α
j
e
j
, w =
n
∑
k=1
β
k
e
k
.
Тогда в случае, если пространство евклидово, будем иметь: (v, w) =
n
∑
j=1
n
∑
k=1
α
j
β
k
(e
j
, e
k
). Так как (e
j
, e
k
) = 0 при j ̸= k, а (e
j
, e
j
) = 1, то вся
эта сумма равна
n
∑
j=1
α
j
β
j
.
Далее,
Av =
n
∑
j=1
α
j
Ae
j
, Aw =
n
∑
k=1
β
k
Ae
k
, (Av, Aw) =
n
∑
j=1
n
∑
k=1
α
j
β
k
(Ae
j
, Ae
k
).
Если Ae
1
, . . . , Ae
n
— также ортонормированный базис, то из
(Ae
j
, Ae
k
) = 0 (при j ̸= k) и (Ae
j
, Ae
j
) = 1 получаем (Av, Aw) =
n
∑
j=1
α
j
β
j
= (v, w).
39
                 ГЛАВА V. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
  В ЕВКЛИДОВЫХ И УНИТАРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

              5.1. Ортогональные и унитарные операторы

Теорема 5.1.1. Пусть V — евклидово (унитарное) пространство,
A : V → V — линейный оператор. Эквивалентны следующин утверж-
дения:

 1) Оператор A отображает некоторый ортонормированный базис
       e1 , . . . , en в ортонормированный базис Ae1 , . . . , Aen ;

 2) Для любых двух векторов v, w ∈ V имеет место равенство
       (Av, Aw) = (v, w);

 3) Для любого вектора v ∈ V имеет место равенство (Av, Av) =
       (v, v);

 4) Оператор A отображает любой ортонормированный базис про-
       странства V в ортонормированный базис.
                                                         ∑
                                                         n                   ∑
                                                                             n
      Доказательство. 1) =⇒ 2). Пусть v =                      αj ej , w =         βk ek .
                                                         j=1                 k=1
Тогда в случае, если пространство евклидово, будем иметь: (v, w) =
∑n ∑n
      αj βk (ej , ek ). Так как (ej , ek ) = 0 при j ̸= k, а (ej , ej ) = 1, то вся
j=1 k=1
                     ∑
                     n
эта сумма равна            αj βj .
                     j=1
  Далее,
     ∑
     n                 ∑
                       n                     ∑
                                             n ∑
                                               n
Av =     αj Aej , Aw =   βk Aek , (Av, Aw) =     αj βk (Aej , Aek ).
        j=1                   k=1                     j=1 k=1
      Если Ae1 , . . . , Aen — также ортонормированный базис, то из
(Aej , Aek ) = 0 (при j ̸= k) и (Aej , Aej ) = 1 получаем (Av, Aw) =
∑n
   αj βj = (v, w).
j=1



                                         39

Страницы